(1)

$\overrightarrow{{\rm BE}} = 2\overrightarrow{{\rm AF}}$

なので $\overrightarrow{{\rm AF}} = 2\overrightarrow{a}$ となります。

(2)

$\overrightarrow{{\rm AO}}=\overrightarrow{{\rm AF}} + \overrightarrow{{\rm FO}}=\overrightarrow{{\rm AF}} + \overrightarrow{{\rm AB}}$

なので $\overrightarrow{{\rm AO}} = \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}$ となります。

(3)

$\overrightarrow{{\rm AE}} = \overrightarrow{{\rm AF}} + \overrightarrow{{\rm FE}} = \overrightarrow{{\rm AF}} + \overrightarrow{{\rm AO}}$

であり, $\overrightarrow{{\rm AO}} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ であるから

$\overrightarrow{{\rm AE}} = \overrightarrow{a} + \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

となります。

(4)

$\overrightarrow{{\rm CO}} = \overrightarrow{{\rm BA}} = -\overrightarrow{{\rm AB}}$

より $\overrightarrow{{\rm CO}} = -\overrightarrow{b}$ となります。

(5)

$\overrightarrow{{\rm AD}} = 2\overrightarrow{{\rm AO}}$

より $\overrightarrow{{\rm AD}} = 2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ となります。

(6)

$\overrightarrow{{\rm FB}} = \overrightarrow{{\rm FA}} + \overrightarrow{{\rm AB}} = -\overrightarrow{{\rm AF}} + \overrightarrow{{\rm AB}}$

より $\overrightarrow{{\rm FB}} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ となります。

括弧を外し, $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ のそれぞれの係数をまとめましょう。

(1)

$ $$\begin{eqnarray*} \left( 2\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b} \right) + \left( -\overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b}\right) & = & 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{b}\\[0.5em] & = & (2-1)\overrightarrow{a} + (4-2)\overrightarrow{b} \\[0.5em] & = & \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$$ $

(2)
数の計算の時と同様に, 分配法則が成り立ちます。

$ $$\begin{eqnarray*} 2\left(-2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \right) + 4\left( 2\overrightarrow{a} +4\overrightarrow{b}\right) & = & -4\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b} + 8\overrightarrow{a} + 16\overrightarrow{b} \\[0.5em] & = & (-4+8)\overrightarrow{a} +(4+16)\overrightarrow{b}\\[0.5em] &= & 4\overrightarrow{a} + 20\overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$$ $

$\overrightarrow{x}$ を左辺に, それ以外のベクトルを右辺に移項します。

$ $$\begin{eqnarray*} -4\overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{x} & = & 3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\\[0.5em] -\overrightarrow{x} & = & \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\end{eqnarray*}$$ $

両辺に $-1$ をかければ

$\overrightarrow{x} = -\overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b}$

となります。

連立方程式を解く時と同じ要領で解いていきましょう。

$ $$\begin{eqnarray*} -\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} & = & -4\overrightarrow{a}~~\cdots (1)\\[0.5em] -\overrightarrow{x} + 4\overrightarrow{y} & = & -4\overrightarrow{b}~~\cdots (2)\end{eqnarray*}$$ $

とすると, $(2) - (1)$ より

$2\overrightarrow{y} = 4\overrightarrow{a} -4\overrightarrow{b}$

両辺を $2$ で割れば

$\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$

これを $(1)$ に代入して整理すると

$ $$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{x} & = & 2\overrightarrow{y} + 4\overrightarrow{a}\\[0.5em] & = & 2\left( 2\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} \right) + 4\overrightarrow{a}\\[0.5em] & = & 8\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b}\end{eqnarray*}$$ $