II. 係数が定数でない場合を考えよう
要点まとめ
- $t^2x'' + atx' + bx=0$ ($a$, $b$ は定数) という形の微分方程式を オイラーの微分方程式 という。
- オイラーの微分方程式に対し
$\lambda^2 + (a-1)\lambda + b=0$
をこの微分方程式の 特性方程式 という。 - 特性方程式が異なる $2$ つの実数解 $\lambda_1$, $\lambda_2$ を持つとき, 元の微分方程式の一般解は
$x = C_1t^{\lambda_1} + C_2t^{\lambda_2}~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)
と表せる。 - 特性方程式が重解 $\lambda_1$ を持つとき, 元の微分方程式の一般解は
$x = \left( C_1 + C_2 \log |t| \right)t^{\lambda_1}~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)
と表せる。 - 特性方程式が異なる $2$ つの虚数解 $\alpha \pm \beta i$ を持つとき, 元の微分方程式の一般解は
$x = t^{\alpha}\left( C_1 \cos \left(\beta \log|t| \right) + C_2\sin \left( \beta \log|t| \right) \right)~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)
と表せる。
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