I. 非斉次方程式の一般解を求めてみよう
要点まとめ
- 定数係数 $2$ 階非斉次線形微分方程式 $x'' +ax' +bx =R(t)$ の一般解は, この微分方程式の特殊解と同伴方程式の和で表せるので, 一般解を求めるためには, 特殊解が $1$ つ求められれば良い。
- 上の微分方程式の同伴方程式の, 線形独立な $2$ つの解を $x_1$, $x_2$ とすると
$\displaystyle x_0 = -x_1\int \dfrac{x_2R(t)}{W(x_1,x_2)} ~dt + x_2\int \dfrac{x_1R(t)}{W(x_1,x_2)}~dt$
は, もとの微分方程式の特殊解である。 - また, $R(t)$ の形から特殊解の形をある程度予想して, 代入し係数を求めることで特殊解を計算することができる。
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