I. 斉次方程式の一般解を求めてみよう
要点まとめ
- 定数係数 $2$ 階斉次線形微分方程式 $x'' +ax' +bx =0$ に対し,
$\lambda^2 + a\lambda + b=0$
を, この微分方程式の 特性方程式 という。 - 特性方程式が異なる $2$ つの実数解 $\lambda_1$, $\lambda_2$ を持つとき, 元の微分方程式の一般解は
$x = C_1e^{\lambda_1 t} + C_2e^{\lambda_2 t}~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)
と表せる。 - 特性方程式が重解 $\lambda_1$ を持つとき, 元の微分方程式の一般解は
$x = (C_1 + C_2t)e^{\lambda_1 t}~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)
と表せる。 - 特性方程式が異なる $2$ つの虚数解 $\alpha \pm \beta i$ を持つとき, 元の微分方程式の一般解は
$x = e^{\alpha t}\left( C_1 \cos \beta t + C_2 \sin \beta t \right)~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)
と表せる。
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