III. 2階線形微分方程式の解について学ぼう
要点まとめ
  • $2$ 階非斉次線形微分方程式の特殊解の $1$ つを $x_0$, 同伴方程式の一般解を $X$ とすると, もとの微分方程式の一般解 $x$ は,

    $x = x_0 + X$

    の形で表される。
  • $2$ つの関数 $u$, $v$ が

    $C_1u + C_2v =0$ ならば $C_1 = C_2 = 0$

    という条件を満たすとき, $u$ と $v$ は 線形独立 であるという。
  • 線形独立でないとき, $u$ と $v$ は 線形従属 であるという。
  • $2$ 階斉次線形微分方程式の一般解 $X$ は, $2$ つの線形独立な解 $x_1$, $x_2$ を用いて

    $X = C_1x_1 + C_2x_2~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)

    の形で表される。
  • $2$ つの関数 $u$, $v$ に対し,

    $W(u,v) = \left| \begin{array}{cc}u & v \\ u' & v' \end{array} \right| = uv' - u'v$

    ロンスキー行列式, または ロンスキアン という。
  • $2$ つの関数 $u$ と $v$ について, $W(u,v) \not=0$ ならば, $u$ と $v$ は線形独立である。
  • 上の逆は一般には成り立たない。
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