III. 2階線形微分方程式の解について学ぼう
要点まとめ
- $2$ 階非斉次線形微分方程式の特殊解の $1$ つを $x_0$, 同伴方程式の一般解を $X$ とすると, もとの微分方程式の一般解 $x$ は,
$x = x_0 + X$
の形で表される。 - $2$ つの関数 $u$, $v$ が
$C_1u + C_2v =0$ ならば $C_1 = C_2 = 0$
という条件を満たすとき, $u$ と $v$ は 線形独立 であるという。 - 線形独立でないとき, $u$ と $v$ は 線形従属 であるという。
- $2$ 階斉次線形微分方程式の一般解 $X$ は, $2$ つの線形独立な解 $x_1$, $x_2$ を用いて
$X = C_1x_1 + C_2x_2~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)
の形で表される。 - $2$ つの関数 $u$, $v$ に対し,
$W(u,v) = \left| \begin{array}{cc}u & v \\ u' & v' \end{array} \right| = uv' - u'v$
を ロンスキー行列式, または ロンスキアン という。 - $2$ つの関数 $u$ と $v$ について, $W(u,v) \not=0$ ならば, $u$ と $v$ は線形独立である。
- 上の逆は一般には成り立たない。
メモ帳
※ログインするとここにメモを残せます。