II. 例題を解いてみよう
要点まとめ
  • 斉次 $1$ 階線形微分方程式 $\dfrac{dx}{dt} + P(t)x = 0$ は変数分離形なので, 同じ方法で解くことができる。
  • 非斉次 $1$ 階線形微分方程式 $\dfrac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ は次の 定数変化法 で解くことができる。

    $1$. まず $\dfrac{dx}{dt} + P(t)x = 0$ の一般解を求める。

    $2$. 上で求めた一般解に現れる任意定数を関数 $u(t)$ で置き換え, それを非斉次方程式

    $\dfrac{dx}{dt} +P(t)x = Q(t)$

    に代入して $u(t)$ を求める。

  • また, 非斉次 $1$ 階線形微分方程式は次のようにして解くこともできる。

    $1$. 微分方程式の両辺に $e^{\int P(t)~dt}$ を掛けて, 方程式を

    $\left( xe^{\int P(t)~dt} \right)' = Q(t)e^{\int P(t)~dt}$

    と書き換える。

    $2$. 両辺を $t$ で積分し, $x$ について整理する。

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