II. 例題を解いてみよう
要点まとめ
- 斉次 $1$ 階線形微分方程式 $\dfrac{dx}{dt} + P(t)x = 0$ は変数分離形なので, 同じ方法で解くことができる。
- 非斉次 $1$ 階線形微分方程式 $\dfrac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ は次の 定数変化法 で解くことができる。
$1$. まず $\dfrac{dx}{dt} + P(t)x = 0$ の一般解を求める。
$2$. 上で求めた一般解に現れる任意定数を関数 $u(t)$ で置き換え, それを非斉次方程式
$\dfrac{dx}{dt} +P(t)x = Q(t)$
に代入して $u(t)$ を求める。
- また, 非斉次 $1$ 階線形微分方程式は次のようにして解くこともできる。
$1$. 微分方程式の両辺に $e^{\int P(t)~dt}$ を掛けて, 方程式を
$\left( xe^{\int P(t)~dt} \right)' = Q(t)e^{\int P(t)~dt}$
と書き換える。
$2$. 両辺を $t$ で積分し, $x$ について整理する。
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