I. 変数変換のやり方を学ぼう
要点まとめ
- 重積分において, 変数 $x$, $y$ を異なる変数で置き換えるときは, 面積要素の変換を考える必要がある。
- $2$ 変数関数 $z = f(x,y)$ について, $x$, $y$ がそれぞれ $u$ と $v$ に関する $2$ 変数関数のとき, $z = f(x(u,v),y(u,v))$ は $u$, $v$ に関する $2$ 変数関数であり, 次が成り立つ。
$\displaystyle \iint_D f(x,y)~dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v))\left| \dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v} - \dfrac{\partial x}{\partial v}\dfrac{\partial y}{\partial u}\right|~dudv$
- 上の式に現れた $\left| \dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v} - \dfrac{\partial x}{\partial v}\dfrac{\partial y}{\partial u} \right|$ を ヤコビアン といい, 通常 $J$ で表す。
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