$Q1$.
次の値を計算しなさい。ただし, $i$ は虚数単位とする。
解答・解説を見る$Q2$.
次の値を計算しなさい。ただし, $i$ は虚数単位とする。
解答・解説を見るド・モアブルの定理
$(\cos x + i\sin x)^n = \cos nx + i\sin nx$
を使って計算しましょう。
(1)
ド・モアブルの公式より
$\left( \cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin \dfrac{\pi}{4} \right)^6 = \cos \dfrac{6}{4}\pi + i\sin \dfrac{6}{4}\pi = i\sin \dfrac{3}{2}\pi =-i$
(2)
$1+i = \sqrt{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2}\left( \cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin \dfrac{\pi}{4}\right)$
であるから
$\begin{eqnarray*}(1+i)^7 & = & \left( \sqrt{2}\left( \cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin \dfrac{\pi}{4}\right) \right)^7\\[1em] & = & \left( \sqrt{2}\right)^7 \left( \cos \dfrac{7}{4}\pi + i\sin \dfrac{7}{4}\pi \right)\\[1em] & = & 8\sqrt{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{i}{\sqrt{2}}\right) = 8-8i \end{eqnarray*}$
$Q3$.
オイラーの公式を用いて次の等式が成り立つことを証明しなさい。ただし, $i$ は虚数単位とする。
解答・解説を見る(1)
オイラーの公式から
$\begin{eqnarray*} e^{ix}e^{iy} & = & (\cos x + i\sin x)(\cos y + i\sin y)\\[1em] & = & (\cos x \cos y - \sin x \sin y) + i(\cos x \sin y + \sin x \cos y)\\[1em] & = & \cos (x+y) + i\sin(x+y) = e^{i(x+y)} \end{eqnarray*}$
よって $e^{ix}e^{iy} = e^{i(x+y)}$ が成り立つ。
(2)
オイラーの公式から
$\begin{eqnarray*} \dfrac{1}{e^{ix}} & = & \dfrac{1}{\cos x + i\sin x}\\[1em] & = & \dfrac{\cos x - i\sin x}{(\cos x + i\sin x)(\cos x - i\sin x)}\\[1em] & = & \dfrac{\cos x - i\sin x}{\cos^2 x + \sin^2 x}\\[1em] & = & \cos x - i \sin x = \cos (-x) + i\sin (-x) = e^{i(-x)} = e^{-ix} \end{eqnarray*}$
よって $\dfrac{1}{e^{ix}} = e^{-ix}$ が成り立つ。
この例題から通常の指数法則が成り立つことがわかり, ド・モアブルの定理
$(\cos x + i\sin x)^n = \cos nx + i\sin nx$
が任意の整数 $n$ で成り立つことが示せます。
また, 上の証明で出てきた
$\dfrac{1}{e^{ix}} = e^{-ix} = \cos x - i\sin x$
もよく用いられるので, 慣れておくようにしましょう。
$Q4$.
$z + \dfrac{1}{z} = 1$ を満たす複素数 $z$ を求めなさい。また, この時 $z^{10} + \dfrac{1}{z^{10}}$ を計算しなさい。
解答・解説を見る$z\not=0$ より両辺に $z$ をかけて整理すると
$z^2 - z + 1 =0$
解の公式から
$z = \dfrac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$
となります。またこの時
$z = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = \cos \dfrac{\pi}{3} \pm i\sin \dfrac{\pi}{3}$
であるから, ド・モアブルの定理から
$\begin{eqnarray*}z^{10} + \dfrac{1}{z^{10}} & = & \left( \cos \dfrac{10}{3}\pi \pm i\sin \dfrac{10}{3}\pi \right) + \left( \cos \left( -\dfrac{10}{3}\pi\right) \pm i\sin \left(-\dfrac{10}{3}\pi\right) \right)\\[1em] & = & \left( \cos \dfrac{10}{3}\pi \pm i\sin \dfrac{10}{3}\pi \right) + \left( \cos \dfrac{10}{3}\pi \mp i\sin \dfrac{10}{3}\pi \right)\\[1em] & = & 2\cos \dfrac{10}{3}\pi = 2\cos \dfrac{4}{3}\pi = -1 \end{eqnarray*}$
オイラーの公式
$e^{ix} = \cos x + i\sin x$
を使って計算しましょう。
(1)
オイラーの公式に代入すると
$e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0 = -1$
(2)
$e^{\frac{i\pi}{2}} = \cos \dfrac{\pi}{2} + i\sin \dfrac{\pi}{2} = i$