I. ある条件の下での極値を求めよう
要点まとめ
- $f(x,y)$, $g(x,y)$ が連続な偏導関数を持ち, $g_x(a,b)\not=0$ かつ $g_y(a,b)\not=0$ である時, $g(x,y)=0$ の条件の下で関数 $z=f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で極値を持つならば, 次が成り立つ。
$\dfrac{f_x(a,b)}{g_x(a,b)} = \dfrac{f_y(a,b)}{g_y(a,b)}$
- ラグランジュの未定乗数法
$f(x,y)$, $g(x,y)$ が連続な偏導関数を持ち, $g_x(a,b)\not=0$, $g_y(a,b)\not=0$ かつ, $g(x,y)=0$ の条件の下で関数 $z=f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で極値を持つとする。
この時, $L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)$ とすると, ある実数 $\lambda_0$ が存在して次が成り立つ。
$ \dfrac{\partial L}{\partial x}(a,b,\lambda_0) = \dfrac{\partial L}{\partial y}(a,b,\lambda_0) = \dfrac{\partial L}{\partial \lambda}(a,b,\lambda_0)=0$
- $\dfrac{f_x(x,y)}{g_x(x,y)} = \dfrac{f_y(x,y)}{g_y(x,y)}$ と $g(x,y)=0$ を解くことで, 極値を取りうる点の候補を求めることができる。
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