I. もう1回偏微分しよう
要点まとめ
- $2$ 変数関数 $f(x,y)$ の偏導関数 $f_x,~f_y$ がさらに $x$, $y$ で偏微分可能である時, それらの偏導関数を次のように表す。
$\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right) = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx}$
$\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right) = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = f_{xy}$
$\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right) = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = f_{yx}$
$\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right) = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f_{yy}$
- これらの偏導関数を 第 $2$ 次偏導関数 という。
- 偏導関数を表すときは, 偏微分する順番によって $x$ と $y$ を書く順番が変わることに注意する。
- 次の シュワルツの定理 が成り立つ。
関数 $f(x,y)$ について, $f_{xy}$, $f_{yx}$ がともに連続ならば, $f_{xy} = f_{yx}$ が成り立つ。
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