時刻 $t$ における ${\rm P}$ の位置を $x(t)$, 加速度を $a(t)$ とします。

$t=0$ の時に原点にあるので $x(0) = 0$ であることに注意すると

$\begin{eqnarray*} x(t) & = & x(0) + \int_0^t v(s)~ds\\ & = & \int_0^t \sin \pi s ~ds\\ & = & \left[ -\dfrac{1}{\pi} \cos \pi s\right]_0^t = \dfrac{1}{\pi}\left( 1 - \cos \pi t \right) \end{eqnarray*}$

よって $t=3$ の時の点 ${\rm P}$ の位置は

$x(3) = \dfrac{1}{\pi}\left( 1- \cos 3\pi\right) = \dfrac{2}{\pi}$

また, 加速度 $a(t)$ は

$a(t) = \dfrac{dv}{dt} = \pi \cos \pi t$

であるから, $t=3$ を代入すると

$a(3) = \pi \cos 3\pi = -\pi$

となります。

地面から上向きを正の向きとすると, 重力加速度は下を向いているので負の値になることに注意しましょう。

$v(0) = 20$ であるから $t$ 秒後の速度 $v(t)$ は

$\displaystyle v(t) = v(0) + \int_0^t (-9.8)~ds = 20 - 9.8t$

よって $t$ 秒後のボールの高さを $x(t)$ とすると $x(0) = 1.5$ より

$\displaystyle x(t) = x(0) + \int_0^t (20 - 9.8s)=ds = 1.5 + 20t -4.9t^2$

$t=2$ を代入すれば

$x(2) = 1.5 +40 - 19.6 = 21.9$

となります。

ビルの屋上を $x=0$ とし鉛直上向きを $x$ の正の向きとすると, $t$ 秒後の速度 $v(t)$ は

$\displaystyle v(t) = v(0) + \int_0^t (-9.8)~ds = 19.6 - 9.8t$

$t$ 秒後のボールの高さを $x(t)$ とすると, ビルの屋上を $x=0$ としているので $x(0) = 0$ となります。よって

$\displaystyle x(t) = x(0) + \int_0^t (19.6 - 9.8s)~ds = 19.6t - 4.9t^2$

$5$ 秒後に地面に到達するので, $t=5$ を代入すると

$x(5) = 98 - 122.5 = -24.5$

ビルの屋上から $-24.5~[{\rm m}]$ の場所が地面になるので, このビルの高さは $24.5~[{\rm m}]$ になります。

(1)
物体を落とした場所を $x=0$ とし, 鉛直下向きを $x$ の正の向きとします。

$X$ を落下させてから $t_X$ 秒後の $X$ の速度を $v_X$ とすると

$\displaystyle v_X = 0 + \int_0^{t_X} 9.8~ds = 9.8t_X$

であり, その時の $X$ の位置 $x_X$ は

$\displaystyle x_X = 0 + \int_0^{t_X} 9.8s~ds = 4.9t_X^2$

となります。また $Y$ を投げ下ろしてから $t$ 秒後の $Y$ の速度を $v_Y$ とすると

$\displaystyle v_Y = 24.5 + \int_0^t 9.8~ds = 24.5 + 9.8t$

であり, その時の $Y$ の位置 $x_Y$ は

$\displaystyle x_Y = 0 + \int_0^t (24.5 + 9.8s)~ds = 24.5t + 4.9t^2$

となります。

$X$ を落下させてから $2$ 秒後に $Y$ を投げ下ろしているので

$t_X = t+2$

を代入すれば, $Y$ を投げ下ろしてから $t$ 秒後の $X$ の位置は

$x_X = 4.9(t+2)^2$

となります。$Y$ が $X$ に追いつく時 $x_X = x_Y$ であるから

$4.9(t+2)^2 = 24.5t + 4.9t^2$

これを解くと $t = 4$ となるので $4$ 秒後に $Y$ は $X$ に追いつくことがわかります。

(2)
$v_X$ にも $t_X = t+2$ を代入すると

$v_X = 9.8(t+2)$

$4$ 秒後に追いつくので $t=4$ を代入すると

$v_X = 9.8 \cdot(4+2) = 58.8$

また $v_Y$ に $t=4$ を代入すると

$v_Y = 24.5 + 9.8\cdot 4 = 63.7$

(3)
落下距離は $t=4$ における $X$ または $Y$ の位置に等しいので

$x_X = 4.9\cdot (4+2)^2 = 176.4$

となります。