14. 広義積分 例題集

$Q1$.
次の広義積分を計算しなさい。

(1) $\displaystyle \int_0^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}} ~ dx$
(2) $\displaystyle \int_0^{16} \dfrac{1}{\sqrt{16-x}} ~ dx$
(3) $\displaystyle \int_{-3}^3 \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}} ~ dx$
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(1) $4$
(2) $8$
(3) $\pi$

(1)
関数 $y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ は半開区間 $(0,4]$ で連続なので

$\displaystyle \int_0^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}}~dx = \lim_{\varepsilon \to+0} \int_{\varepsilon}^4\dfrac{1}{\sqrt{x}}~dx = \lim_{\varepsilon \to +0}\left[ 2\sqrt{x}\right]_{\varepsilon}^4 = \lim_{\varepsilon \to +0} (4-2\sqrt{\varepsilon}) =4 $

(2)
関数 $y = \dfrac{1}{\sqrt{16-x}}$ は半開区間 $[0,16)$ で連続なので

$160116x dx=limε+016ε0116x dx=limε+0[216x]16ε0=limε+0(2ε+216)=8$

(3)
関数 $y = \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}$ は開区間 $(-3,3)$ で連続なので

$3319x2 dx=limδ+0limε+03ε3+δ19x2 dx=limδ+0limε+0[sin1x3]3ε3+δ=limδ+0limε+0(sin1(3ε3)sin1(3+δ3))=π2(π2)=π$

$Q2$.
次の広義積分を計算しなさい。

(1) $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-5x}~dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^3e^{-x^4}~dx$
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(1) $\dfrac{1}{5}$
(2) $\dfrac{1}{4}$

(1)
関数 $y = e^{-5x}$ は実数全体で連続なので

$01e5x dx=limbb0e5x dx=limb[15e5x]b0=limb(15e5b+15)=15$

(2)
関数 $y = x^3e^{-x^4}$ は実数全体で連続なので

$0x3ex4 dx=limbb0x3ex4 dx=limb[14ex4]b0=limb(14eb4+14)=14$