区間 $[a,b]$ における, 曲線 $y= f(x)$ の長さ $L$ は

$\displaystyle L = \int_a^b \sqrt{1+ \left\{ f'(x) \right\}^2 }~dx$

で計算できます。

$y = x^{\frac{3}{2}}$ より

$y' = \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

であるから

$1+ (y')^2 = 1+\dfrac{9}{4}x = \dfrac{9x+4}{4}$

よって曲線の長さ $L$ は

$\begin{eqnarray*} L & = & \int_0^1 \sqrt{\dfrac{9x+4}{4}}~dx = \dfrac{1}{2}\int_0^1 \sqrt{9x+4}~dx\\[1em] & = & \dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{2}{27}(9x+4)^{\frac{3}{2}}\right]_0^1\\[1em] & = & \dfrac{1}{27}\left( 13\sqrt{13} - 8\right) \end{eqnarray*}$

$y = x^{\frac{1}{2}} - \dfrac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}$ より

$y' = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}\left( x^{-\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \right)$

であるから

$\begin{eqnarray*}1+ (y')^2 & = & 1 + \dfrac{1}{4} \left( x^{-\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \right)^2\\[1em] & = & 1 + \dfrac{1}{4}\left( x^{-1} - 2 + x\right)\\[1em] & = & \dfrac{1}{4}\left( x^{-1} + 2 + x\right)\\[1em] & = & \dfrac{1}{4} \left( x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \right)^2 \end{eqnarray*}$

よって曲線の長さ $L$ は

$\begin{eqnarray*} L & = & \int_1^4 \sqrt{\dfrac{1}{4} \left( x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \right)^2}~dx = \dfrac{1}{2}\int_1^4 \left( x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \right)~dx\\[1em] & = & \dfrac{1}{2}\left[ 2x^{\frac{1}{2}} + \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_1^4\\[1em] & = & \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{28}{3} - \dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{10}{3} \end{eqnarray*}$

この曲線は半径 $r$ の円であるから, その円周の長さは $2\pi r$ であることを "知って" いますが, ここでは直接計算して求めてみましょう。

求める曲線の長さは, 曲線

$y = \sqrt{r^2 - x^2}~~\left( -\dfrac{r}{\sqrt{2}} \leqq x \leqq \dfrac{r}{\sqrt{2}}\right)$

の長さを $4$ 倍した値になります。

この曲線は元の曲線の $\dfrac{1}{4}$ を, $y\geqq 0$ かつ $y$ 軸に関して対称になるように切り取った曲線であることに注意しましょう。

すると, 求める曲線の長さ $L$ は

$\displaystyle L = 4\int_{-\frac{r}{\sqrt{2}}}^{\frac{r}{\sqrt{2}}} \sqrt{1 + (y')^2}~dx$

となります。

$1 + (y')^2 = 1 + \left( \dfrac{-2x}{2\sqrt{r^2 - x^2}}\right)^2 = \dfrac{r^2}{r^2-x^2}$

であるから, これは偶関数であることに注意すると

$\displaystyle L = 4\int_{-\frac{r}{\sqrt{2}}}^{\frac{r}{\sqrt{2}}} \sqrt{\dfrac{r^2}{r^2-x^2}}~dx = 8r\int_0^{\frac{r}{\sqrt{2}}} \dfrac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}~dx$

$x = r\sin t$ と置くと, $dx = r\cos t~dt$ であり

$x=0$ の時 $t=0$, $x=\dfrac{r}{\sqrt{2}}$ の時 $t = \dfrac{\pi}{4}$

よって

$\begin{eqnarray*}L & = & 8r\int_0^{\frac{r}{\sqrt{2}}} \dfrac{1}{\sqrt{r^2-x^2}}~dx\\[1em] & = & 8r\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{r\cos t}{\sqrt{r^2 - r^2\sin^2 t}}~dt\\[1em] & = & 8r\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos t}{\sqrt{1-\sin^2 t }}~dt = 8r\int_0^{\frac{\pi}{4}} ~dt = 2\pi r \end{eqnarray*}$