$\left( \log x\right)' = \dfrac{1}{x}$ が成り立ちます。

(1)
$\log x^2 = 2\log x$ より

$\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \left( 2x\log x \right)' \\[1em] & = & 2 \left( 1\cdot \log x + x \cdot \dfrac{1}{x} \right)\\[1em] & = & 2\log x + 2 \end{eqnarray*}$

(2)

$f'(x) = \dfrac{(2x+1)'}{2x+1} = \dfrac{2}{2x+1}$

(3)
対数の性質を用いると

$\log \sqrt{-2x^2+2} = \log \left( 2(-x^2+1) \right)^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}\left( \log (-x^2+1) + \log 2\right)$

よって

$\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(-x^2+1)'}{-x^2+1} =\dfrac{x}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

対数微分法を使ってみましょう。

(1)
$\log f(x) = \log x^{\log x^2} = \log x^2\log x = 2(\log x)^2$ より

$\log f(x) = 2\left( \log x\right)^2$

両辺を微分すると

$\dfrac{f'(x)}{f(x)}= 4\left( \log x\right) \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{4\log x}{x}$

よって

$f'(x) = \dfrac{4\log x}{x}f(x) = \dfrac{4x^{\log x^2} \log x}{x}$

(2)
$\log f(x) = \log x^{e^x} = e^x\log x$ より, 両辺を微分すると

$\dfrac{f'(x)}{f(x)}= e^x\left(\log x + \dfrac{1}{x} \right)$

よって

$f'(x) = e^x\left(\log x + \dfrac{1}{x} \right)x^{e^x}$

(3)
$\log f(x) = \log x^x = x\log x$ より, 両辺を微分すると

$\dfrac{f'(x)}{f(x)}= \log x + 1$

よって

$f'(x) = x^x(\log x+1)$