6. 合成関数の導関数例題集

$Q1$.
次の関数を微分しなさい。

(1) $f(x) = (x-3)^6$

(2) $f(x) = e^{x^2}$

(3) $f(x) = \sin 12x$

解答・解説を見る

(1) $f'(x) = 6(x-3)^5$

(2) $f'(x) = 2xe^{x^2}$

(3) $f'(x) = 12\cos 12x$

合成関数の微分法

$\left\{ f(g(x))\right\}' = f'(g(x))g'(x)$

を利用します。

(1)
$g(x) = x^6$, $h(x) = x-3$ とすると

$f(x) = g(h(x))$

であるから, $g'(x) = 6x^5$, $h'(x) = 1$ より

$f'(x) = g'(h(x))h'(x) = 6(h-3)^5\cdot 1 = 6(x-3)^5$

(2)
$g(x) = e^x$, $h(x) = x^2$ とすると

$f(x) = g(h(x))$

であるから, $g'(x) = e^x$, $h'(x) = 2x$ より

$f'(x) = g'(h(x))h'(x) = e^{x^2}\cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(3)
$g(x) = \sin x$, $h(x) = 12x$ とすると

$f(x) = g(h(x))$

であるから, $g'(x) = \cos x$, $h'(x) = 12$ より

$f'(x) = g'(h(x))h'(x) = \cos 12x\cdot 12 = 12\cos 12x$

$Q2$.
次の関数を微分しなさい。

(1) $f(x) = (x^2-5x-5)^4$

(2) $f(x) = \sin (2x^3 -5x+4)$

(3) $f(x) = e^{\cos x}$

解答・解説を見る

(1) $f'(x) = 4(2x-5)(x^2-5x-5)^3$

(2) $f'(x) = (6x^2-5)\cos (2x^3 -5x+4)$

(3) $f'(x) = -e^{\cos x}\sin x$

(1)

$f'(x) = 4(x^2 -5x-5)^3\cdot (x^2-5x-5)' = 4(2x-5)(x^2-5x-5)^3$

(2)

$f'(x) = \cos (2x^3 -5x + 4)\cdot (2x^3 -5x+4)' = (6x^2 -5)\cos (2x^3 -5x+4)$

(3)

$f'(x) = e^{\cos x}\cdot (\cos x)' = -e^{\cos x}\sin x$

$Q3$.
次の関数を微分しなさい。

(1) $f(x) = \sqrt{x}$

(2) $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$

(3) $f(x) = (x^2 +1)^{-\frac{1}{2}}$

解答・解説を見る

(1) $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

(2) $f'(x) = \dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$

(3) $f'(x) = -x(x^2 +1)^{-\frac{3}{2}}$

逆関数の微分法

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$

を利用すると無理関数の導関数が得られます。

(1)
$y=\sqrt{x}$ とすると $x = y^2$ であるから

$\dfrac{dx}{dy} = 2y$

$y=\sqrt{x}$ であるから, 逆関数の微分法より

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \dfrac{1}{2y} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

(2)
$y=x^{\frac{1}{3}}$ とすると $x =y^3$ であるから

$\dfrac{dx}{dy} = 3y^2$

逆関数の微分法より

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \dfrac{1}{3y^2} = \dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$x^\frac{2}{3} = (x^2)^{\frac{1}{3}}$ であるから, 合成関数の微分法より

$f'(x) = \left\{ (x^2)^{\frac{1}{3}}\right\}' = \dfrac{1}{3}(x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot (x^2)' = \dfrac{2}{3}x^{1 - \frac{4}{3}} = \dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$

(3)

$f(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)^{\frac{1}{2}}}$

であるから

$\begin{eqnarray*}f'(x) & = & - \dfrac{ \left\{ (x^2+1)^{\frac{1}{2}} \right\}'}{x^2+1}\\[1em] & = & - \dfrac{~ \dfrac{(x^2+1)'}{ 2(x^2+1)^{\frac{1}{2}} } ~}{x^2+1}\\[1em] & = & - \dfrac{x}{(x^2+1)^{1+\frac{1}{2}}} = -x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}}\\[1em] \end{eqnarray*}$

$Q4$.
次の等式を証明しなさい。

$\left( x^n\right) = nx^{n-1}~~$ ($n$ は有理数)

解答・解説を見る

$n$ は有理数なので, 整数 $p$, $q$ を用いて $n = \dfrac{p}{q}~~(q\not=0)$ と表せる。

$y = x^{\frac{1}{q}}$ とすると $x = y^q$ であるから

$\dfrac{dx}{dy} = qy^{q-1}$

よって

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ \dfrac{dx}{dy} } = \dfrac{1}{qy^{q-1}} = \dfrac{1}{q} x^{-\frac{q-1}{q}}$

$x^n = \left( x^p\right)^{\frac{1}{q}}$ であるから合成関数の微分法より

$\left( x^n \right)' = \dfrac{1}{q}\left(x^p \right)^{-\frac{q-1}{q}}\cdot \left( x^p \right)' = \dfrac{p}{q}x^{ p-1 - \frac{p(q-1)}{q} } = \dfrac{p}{q}x^{ \frac{p}{q} - 1} = nx^{n-1}$

よって有理数 $n$ に対し $\left( x^n\right) = nx^{n-1}$ が成り立つ。

$Q5$.
次の関数を微分しなさい。

(1) $f(x) = e^{\sqrt[3]{x^2+1}}$

(2) $f(x) = \cos \left( \sqrt{x^2 + 4} \right)$

解答・解説を見る

(1) $f'(x) = \dfrac{2xe^{\sqrt[3]{x^2+1}}}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$

(2) $f'(x) = - \dfrac{x\sin \left( \sqrt{x^2+4} \right) }{\sqrt{x^2+4}}$

(1)
$\sqrt[3]{x^2+1} = (x^2+1)^{\frac{1}{3}}$ であるから

$\begin{eqnarray*}f'(x) & = & e^{\sqrt[3]{x^2+1}} \left( \sqrt[3]{x^2+1} \right)'\\[1em] & = & \dfrac{1}{3}(x^2+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x \cdot e^{\sqrt[3]{x^2+1}}\\[1em] & = & \dfrac{2xe^{\sqrt[3]{x^2+1}}}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}\\[1em] \end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*}f'(x) & = & -\sin\left( \sqrt{x^2+4}\right)\cdot \left(\sqrt{x^2+4} \right)'\\[1em] & = & - \sin\left( \sqrt{x^2+4}\right) \cdot \dfrac{(x^2+4)'}{2\sqrt{x^2+4}}\\[1em] & = & - \dfrac{x\sin \left( \sqrt{x^2+4} \right) }{\sqrt{x^2+4}} \end{eqnarray*}$

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