5. 指数関数の導関数 例題集
$Q1$.
次の関数を微分しなさい。
(1) $f(x) = 3^x$
(2) $f(x) = 2^{-x}$
(3) $f(x) = 5^{2x}$
(1) $f'(x)= 3^x \log 3$
(2) $f'(x)= -2^{-x} \log 2$
(3) $f'(x)= 2\cdot 5^{2x} \log 5$
$Q2$.
次の関数を微分しなさい。
(1) $f(x) = x^3e^x$
(2) $f(x) = e^x\sin x$
(3) $f(x) = e^{3x}$
(1) $f'(x)= (x^3 + 3x^2)e^x$
(2) $f'(x)= e^x(\sin + \cos x)$
(3) $f'(x)= 3e^{3x}$
$\left( e^x \right)' =e^x$ が成り立ちます。
(1)
積の微分法を用いると
$f′(x)=(x3)′ex+x3(ex)′=3x2ex+x3ex=(x3+3x2)ex$
(2)
積の微分法から
$f′(x)=(ex)′sinx+ex(sinx)′=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)$
(3)
$e^{3x} = \left(e^3\right)^x$ であるから, $\log e = 1$ に注意すると
$f′(x)=(e3)xloge3=e3x(3loge)=3e3x$
(1)
$a \gt 0$ かつ $a\not =1$ の時
$(a^x)' = a^x\log a$
が成り立ちます。よって
$f'(x) = (3^x)' = 3^x \log 3$
(2)
$2^{-x} = \dfrac{1}{2^x}$ であるから, 商の微分法を用いると
$f′(x)=(12x)′=−(2x)′(2x)2=−2xlog222x=−2x−2xlog2=−2−xlog2$
(3)
$5^{2x} = \left(5^2 \right)^x = 25^x$ であるから
$f'(x) = \left( 25^x \right)' = 25^x\log 25 = \left(5^2\right)^x \log 5^2 = 5^{2x}(2\log 5) = 2\cdot 5^{2x} \log 5$
【別解】
$5^{2x} = 5^x\cdot 5^x$ であるから, 積の微分法より
$\left(5^{2x}\right)' = \left(5^x\right)'5^x + 5^x\left(5^x\right)' = 5^x\cdot 5^x \log 5 + 5^x\cdot 5^x \log 5 = 2\cdot 5^{2x} \log 5$