5. 指数関数の導関数 例題集

$Q1$.
次の関数を微分しなさい。

(1) $f(x) = 3^x$
(2) $f(x) = 2^{-x}$
(3) $f(x) = 5^{2x}$
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(1) $f'(x)= 3^x \log 3$
(2) $f'(x)= -2^{-x} \log 2$
(3) $f'(x)= 2\cdot 5^{2x} \log 5$

(1)
$a \gt 0$ かつ $a\not =1$ の時

$(a^x)' = a^x\log a$

が成り立ちます。よって

$f'(x) = (3^x)' = 3^x \log 3$

(2)
$2^{-x} = \dfrac{1}{2^x}$ であるから, 商の微分法を用いると

$f(x)=(12x)=(2x)(2x)2=2xlog222x=2x2xlog2=2xlog2$

(3)
$5^{2x} = \left(5^2 \right)^x = 25^x$ であるから

$f'(x) = \left( 25^x \right)' = 25^x\log 25 = \left(5^2\right)^x \log 5^2 = 5^{2x}(2\log 5) = 2\cdot 5^{2x} \log 5$

【別解】

$5^{2x} = 5^x\cdot 5^x$ であるから, 積の微分法より

$\left(5^{2x}\right)' = \left(5^x\right)'5^x + 5^x\left(5^x\right)' = 5^x\cdot 5^x \log 5 + 5^x\cdot 5^x \log 5 = 2\cdot 5^{2x} \log 5$

$Q2$.
次の関数を微分しなさい。

(1) $f(x) = x^3e^x$
(2) $f(x) = e^x\sin x$
(3) $f(x) = e^{3x}$
解答・解説を見る
(1) $f'(x)= (x^3 + 3x^2)e^x$
(2) $f'(x)= e^x(\sin + \cos x)$
(3) $f'(x)= 3e^{3x}$

$\left( e^x \right)' =e^x$ が成り立ちます。

(1)
積の微分法を用いると

$f(x)=(x3)ex+x3(ex)=3x2ex+x3ex=(x3+3x2)ex$

(2)
積の微分法から

$f(x)=(ex)sinx+ex(sinx)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)$

(3)
$e^{3x} = \left(e^3\right)^x$ であるから, $\log e = 1$ に注意すると

$f(x)=(e3)xloge3=e3x(3loge)=3e3x$