(1)
$a \gt 0$ かつ $a\not =1$ の時

$(a^x)' = a^x\log a$

が成り立ちます。よって

$f'(x) = (3^x)' = 3^x \log 3$

(2)
$2^{-x} = \dfrac{1}{2^x}$ であるから, 商の微分法を用いると

$\begin{eqnarray*} f'(x) & = & \left( \dfrac{1}{2^x} \right)'\\[1em] & = & -\dfrac{(2^x)'}{(2^x)^2}\\[1em] & = & -\dfrac{2^x\log 2}{2^{2x}}\\[1em] & = & -2^{x-2x}\log 2 = -2^{-x}\log 2 \end{eqnarray*}$

(3)
$5^{2x} = \left(5^2 \right)^x = 25^x$ であるから

$f'(x) = \left( 25^x \right)' = 25^x\log 25 = \left(5^2\right)^x \log 5^2 = 5^{2x}(2\log 5) = 2\cdot 5^{2x} \log 5$

【別解】

$5^{2x} = 5^x\cdot 5^x$ であるから, 積の微分法より

$\left(5^{2x}\right)' = \left(5^x\right)'5^x + 5^x\left(5^x\right)' = 5^x\cdot 5^x \log 5 + 5^x\cdot 5^x \log 5 = 2\cdot 5^{2x} \log 5$

$\left( e^x \right)' =e^x$ が成り立ちます。

(1)
積の微分法を用いると

$\begin{eqnarray*}f'(x) & = & (x^3)'e^x + x^3(e^x)'\\[0.5em] & = & 3x^2e^x + x^3 e^x\\[0.5em] & = & (x^3 + 3x^2)e^x \end{eqnarray*}$

(2)
積の微分法から

$\begin{eqnarray*}f'(x) & = & (e^x)'\sin x + e^x(\sin x)'\\[0.5em] & = & e^x\sin x + e^x\cos x\\[0.5em] & = & e^x(\sin x + \cos x) \end{eqnarray*}$

(3)
$e^{3x} = \left(e^3\right)^x$ であるから, $\log e = 1$ に注意すると

$\begin{eqnarray*}f'(x) & = & \left(e^3 \right)^x \log e^3\\[0.5em] & = & e^{3x}(3\log e)\\[0.5em] & = & 3e^{3x} \end{eqnarray*}$