18. 速度と加速度 例題集
$Q1$.
数直線上を運動する点の時刻 $t$ における座標 $x$ が次の式で表される時, $t=2$ における速度 $v$ と加速度 $a$ を求めなさい。
$x = 3t^3 - 2t^2 + 2t + 2$
解答・解説を見る$v= 30$
$a= 32$
$Q2$.
ボールを地上 $0~[{\rm m}]$ の位置から初速度 $19.6~[{\rm m/s}]$ で真上に投げた時, $t$ 秒後のボールの高さ $h~[{\rm m}]$ は
$h = -4.9t^2 + 19.6t$
で与えられる。この時, 次の問いに答えなさい。
(1) 最高点に達するまでの時間とその時の高さを求めなさい。
(2) 地上に戻ってくるまでの時間とその時の速さを求めなさい。
解答・解説を見る(1) $2$ 秒後に高さ $19.6~[{\rm m}]$ に達する。
(2) $4$ 秒後に速さ $19.6~[{\rm m/s}]$ で戻ってくる。
(1)
ボールの最高点を求めるには $h$ の最大値を求めればよいことになります。
$h = -4.9t^2 + 19.6t = -4.9(t-2)^2 + 19.6$
であるから, ボールの高さ $h$ は $t=2$ の時, 最大値 $h = 19.6$ を取ります。
よってボールは投げ上げてから $2$ 秒後に最高点 $19.6~[{\rm m}]$ に達します。
(2)
地上に戻ってくるとき, $h=0$ であるから
$h = -4.9t^2 + 19.6t = -4.9t(t - 4)=0$
よってボールは投げ上げてから $4$ 秒後に地上に戻ってきます。
また, $t$ 秒後のボールの速度 $v(t)$ は
$v(t) = \dfrac{dh}{dt} = -9.8t + 19.6$
となるので $4$ 秒後の速度は
$v(4) = -39.2 + 19.6 = -19.6$
よって $4$ 秒後にボールは下向きに速さ $19.6~[{\rm m/s}]$ で落ちてきます。
時刻 $t$ における位置が $x(t)$ であるような物体の, 時刻 $t$ における速度 $v(t)$ と加速度 $a(t)$ はそれぞれ
$ v(t) = \dfrac{dx}{dt},~~a(t) = \dfrac{d^2 x}{dt^2}$
で表されます。$x=3t^3 - 2t^2 + 2t + 2$ であるから
$v(t) = \dfrac{dx}{dt} = 9t^2 - 4t + 2$
であるから $t=2$ における速度 $v$ は
$v = v(2) = 36 - 8 + 2 = 30$
また
$a(t) = \dfrac{d^2x}{dt^2} = 18t - 4$
であるから, $t=2$ における加速度 $a$ は
$a = a(2) = 36 -4 = 32$
となります。