16. 曲線の凹凸 例題集

$Q1$.
次の曲線の概形を描きなさい。

$y = x^4 + 8x^3 + 18x^2 + 5~~(-4 \leqq x \leqq 1)$
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導関数を求めると

$y' = 4x^3 + 24x^2 + 36x = 4x(x^2+6x+9) = 4x(x+3)^2$

よって $y'=0$ とすると, $x=-3,~0$ となります。また

$y'' = 12x^2 + 48x + 36 = 12(x+3)(x+1)$

よって $y''=0$ とすると, $x=-3,-1$ となります。

これらから増減表を作り, 曲線を描くと以下のようになります。

$Q2$.
次の曲線の概形を描きなさい。

$y = x - 2\sin x~~(0 \leqq x \leqq 2\pi)$
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導関数を求めると

$y' = 1 - 2\cos x$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ であるから, $y'=0$ とすると, $x=\dfrac{\pi}{3},~\dfrac{5}{3}\pi$ となります。また

$y'' = 2\sin x$

$y''=0$ とすると, $x=0,~\pi,~2\pi$ となります。

これらから増減表を作り, 曲線を描くと以下のようになります。

$Q3$.
次の曲線の概形を描きなさい。

$y = e^{-\frac{x^2}{2}}~~(-2 \leqq x \leqq 3)$
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導関数を求めると

$y'=\left(-\dfrac{x^2}{2}\right)'e^{-\frac{x^2}{2}}=-xe^{-\frac{x^2}{2}}$

よって $y'=0$ とすると, $x=0$ となります。また

$y''= -e^{-\frac{x^2}{2}}-x\cdot \left(-xe^{-\frac{x^2}{2}} \right)=(x^2-1)e^{-\frac{x^2}{2}}=(x-1)(x+1)e^{-\frac{x^2}{2}}$

よって $y''=0$ とすると, $x=\pm 1$ となります。

これらから増減表を作り, 曲線を描くと以下のようになります。

$Q4$.
次の曲線の概形を描きなさい。

$y = x\sqrt{2-x^2}~~(-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2})$
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導関数を求めると

$y'=\sqrt{2-x^2}+x\cdot \dfrac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}}=\dfrac{1-x^2}{\sqrt{2-x^2}}=\dfrac{(1-x)(1+x)}{\sqrt{2-x^2}}$

よって $y'=0$ とすると, $x=\pm 1$ となります。また

$y'=\dfrac{(1-x)(1+x)}{\sqrt{2-x^2}}=(1-x^2)(2-x^2)^{-\frac{1}{2}}$

であるから,

$ y=2x(2x2)12+(1x2)(12)(2x)(2x2)32={2x(2x2)+x(1x2)}(2x2)32=x(x23)(2x2)32 $

よって $y''=0$ とすると, $x=0,\pm\sqrt{3}$ となります。

これらから増減表を作り, 曲線を描くと以下のようになります。