(1)

$f'(x) = 3x^2 - 6x+9 = 3(x+1)(x-3)$

であるから $f'(x) = 0$ の時, $x=-1,~3$ となります。

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & \ \cdots\ & -1 & \ \cdots\ & 3 & \ \cdots\ & 6 \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -73 & \nearrow & 8 & \searrow & -24 & \nearrow & 57 \\ \hline \end{array} $

増減表から

$x=-4$ の時, 最小値 $-73$

を取り, また

$x=6$ の時, 最大値 $57$

を取ることがわかります。

(2)

$f(x) = \dfrac{5(x^2+9) - 90}{x^2+9} = 5 - \dfrac{90}{x^2+9}$

であるから

$f'(x) = \dfrac{180x}{(x^2+9)^2}$

よって $f'(x)=0$ の時, $x=0$ となります。

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & \ \cdots\ & 0 & \ \cdots\ & 3 \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -4 & \searrow & -5 & \nearrow & 0 \\ \hline \end{array} $

増減表から

$x=0$ の時, 最小値 $-5$

を取り, また

$x=3$ の時, 最大値 $0$

を取ることがわかります。

(1)

$f'(x) = \dfrac{2x-4}{2\sqrt{x^2 -4x + 8}} = \dfrac{x-2}{\sqrt{x^2 - 4x + 8}}$

であるから $f'(x) = 0$ の時, $x=2$ となります。

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -9 & \ \cdots\ & 2 & \ \cdots\ & 3 \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 5\sqrt{5} & \searrow & 2 & \nearrow & \sqrt{5} \\ \hline \end{array} $

増減表から

$x=2$ の時, 最小値 $2$

を取り, また

$x=-9$ の時, 最大値 $5\sqrt{5}$

を取ることがわかります。

(2)

$f'(x) = -\dfrac{\sin x}{2\sqrt{5+\cos x}}$

であるから $f'(x) = 0$ とすると

$\sin x= 0$

$0\leqq x \leqq 2\pi$ より, $f'(x)=0$ の時, $x=0,~\pi,~2\pi$ となります。

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \ \cdots\ & \pi & \ \cdots\ & 2\pi \\ \hline f'(x) & 0 & - & 0 & + & 0 \\ \hline f(x) & \sqrt{6} & \searrow & 2 & \nearrow & \sqrt{6} \\ \hline \end{array} $

増減表から

$x=\pi$ の時, 最小値 $2$

を取り, また

$x=0$ または $x=2\pi$ の時, 最大値 $\sqrt{6}$

を取ることがわかります。

$x^3 + 6x^2+9x+7 = -a$ より

$f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 7$

として曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = -a$ が $3$ つの共有点を持つような $a$ の範囲を求めればよいことになります。

$f(x)$ を微分すると

$f'(x) = 3x^2 + 12x + 9 = 3(x+3)(x+1)$

よって $f'(x) = 0$ とすると $x=-3,-1$ となります。

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \ \cdots \ & -3 & \ \cdots\ & -1 & \ \cdots\ \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 7 & \searrow & 3 & \nearrow \\ \hline \end{array} $

増減表から, 関数 $y=f(x)$ のグラフは以下のようになります。

グラフから, $3 \lt -a \lt 7$ の時, 曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=-a$ は共有点を $3$ つ持つことがわかります。

よって方程式が異なる $3$ つの実数解を持つような $a$ の範囲は

$-7 \lt a \lt -3$

となります。