曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t,f(t))$ における接線の方程式は

$y - f(t) = f'(t)(x-t)$

と表されます。$f(x) = x^2 + x -2$ とすると

$f'(x) = 2x+1$

より $f'(-1) = -2+1=-1$ となります。

よって接線の方程式は

$y -(-2)= -(x - (-1))$

となり, 整理すると $y = -x-3$ となります。

$f(x) = e^x\cos x$ とすると $f(\pi) = -e^{\pi}$ であり, また

$f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$

より $f'(\pi) = -e^{\pi}$ となります。

よって接線の方程式は

$y -(-e^{\pi})= -e^{\pi}(x - \pi)$

整理すると $y = -e^{\pi}x + e^{\pi}(\pi -1)$ となります。

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t,f(t))$ における法線の方程式は

$y - f(t) = -\dfrac{1}{f'(t)}(x-t)$

と表されます。$f(x) = 2x^3-5x^2-4x+2$ とすると

$f'(x) = 6x^2 -10x -4$

より $f'(1) = 6 - 10 -4 =-8$ となります。

よって接線の方程式は

$y -(-5)= -\dfrac{1}{-8}(x - 1)$

となり, 整理すると $y = \dfrac{1}{8}x-\dfrac{41}{8}$ となります。

$f(x) = \sqrt{1-x^2}$ とすると

$f\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{ 1 -\dfrac{1}{2} }= \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

であり, また

$f'(x) = -\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

となるので

$f'\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) = - \cdot \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{ \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} } } = -\dfrac{~\dfrac{1}{\sqrt{2}}~}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = -1$

よって法線の方程式は

$y -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = - \dfrac{1}{-1}\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) = x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

整理すると $y = x$ となります。