$Q1$.
次の $2$ 次方程式の解を求めなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
判別式を調べることで, 次の方程式の実数解の数を答えなさい。
解答・解説を見る$2$ 次方程式 $ax^2 + bx +c=0$ に対し, $D = b^2 -4ac$ をこの方程式の判別式といいます。
(1)
判別式を調べると
$D=(−7)2−4⋅2⋅(−2)=49+16=65>0$
$D \gt 0$ より, この方程式は異なる $2$ つの実数解を持ちます。
(2)
$D=102−4⋅1⋅25=100−100=0$
$D =0$ より, この方程式は唯一つの重解を持ちます。
(3)
$D=(−3)2−4⋅3⋅10=9−120=−111<0$
$D \lt 0$ よりこの方程式は実数解を持ちません。
$Q3$.
次の方程式が異なる $2$ つの実数解を持つような実数 $k$ の値の範囲を求めなさい。
解答・解説を見る判別式が $D \gt 0$ であればよいので
$D= 16 + 12k \gt 0$
整理すると $k \gt - \dfrac{4}{3}$ となります。
$Q4$.
次の方程式が唯一つの解を持つように実数 $k$ の値を定めなさい。
解答・解説を見る判別式が $D=0$ となればよいので
$100 -16k=0$
整理すると $k = \dfrac{25}{4}$ となります。
$Q5$.
$2$ 次方程式 $4x^2 -5x-6=0$ の $2$ つの解をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ とする時, 次の値を求めなさい。
解答・解説を見る与えられた式を, $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ だけを使って表すことを考えます。
(1)
解と係数の関係より
$\alpha + \beta = -\dfrac{-5}{4} = \dfrac{5}{4}$
(2)
解と係数の関係より
$\alpha \beta = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2}$
(3)
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 -2\alpha \beta$ と変形します。
$α2+β2=(α+β)2−2αβ=(54)2−2⋅(−32)=2516+3=7316$
(4)
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 -3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ と変形します。
$α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)=(54)3−3⋅(−32)⋅54=12564+458=48564$
(5) 展開すると
$(α+1)(β+1)=αβ+α+β+1=54−32+1=5−6+44=34$
(6)
$1α+1β=α+βαβ= 54 −32=−54⋅23=−56$
因数分解できそうであれば因数分解し, できなさそうであれば解の公式を使いましょう。
(1)
左辺を因数分解すると
$x^2 + 10x +24 = (x+4)(x+6)=0$
よって $x+4=0$ または $x+6=0$ より, $x = -4$, $-6$ となります。
(2)
左辺を因数分解すると
$x^2 -4x + 4 = (x-2)^2=0$
$x-2=0$ より $x=2$ となります。
(3)
$20x^2 -17x + 3 = (5x-3)(4x-1)=0$
$5x-3=0$ または $4x-1=0$ より, $x=\dfrac{3}{5}$ または $x=\dfrac{1}{4}$ となります。
(4)
$2$ 次方程式の解の公式より
$x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{ 5^2 - 4\cdot 2 \cdot (-4)}}{2\cdot 2} = \dfrac{-5\pm \sqrt{57}}{4}$