(1)
どちらの項も $x^3y^2$ が掛けられているので, くくり出します。

$ $$\begin{eqnarray*} x^3y^5 + x^4y^2 & = & x^3y^2\times y^3 + x^3y^2\times x\\[0.5em] & = & x^3y^2(y^3+x) \end{eqnarray*}$$ $

(2)
それぞれの文字を, 次数が一番小さい項に合わせてくくり出します。

$ $$\begin{eqnarray*} x^3y^5z^8 + x^4y^6z^2 - x^6yz^4 & = & x^3(y^5z^8 + xy^6z^2 - x^3yz^4)\\[0.5em] & = & x^3y(y^4z^8 + xy^5z^2 - x^3z^4)\\[0.5em] & = & x^3yz^2(y^4z^6 + xy^5 - x^3z^2) \end{eqnarray*}$$ $

(3)
$xy-x=x(y-1)$ であり, $-y+1=-(y-1)$ なので, $y-1$ が共通の因数になっています。

$ $$\begin{eqnarray*} xy-x-y+1 & = & x(y-1) - (y-1)\\[0.5em] & = & (x-1)(y-1) \end{eqnarray*}$$ $

因数分解の公式の形になっていないか, 判断できるようにしましょう。

(1)

$ $$\begin{eqnarray*} x^2+4x+4 & = & x^2 + 2\times 2x + 2^2\\[0.5em] & = & (x+2)^2 \end{eqnarray*}$$ $

(2)

$ $$\begin{eqnarray*} y^2-16y+64 & = & y^2-2\times 8y + 8^2\\[0.5em] & = & (y-8)^2 \end{eqnarray*}$$ $

(3)

$ $$\begin{eqnarray*} 25x^2 - 49z^2 & = & (5x)^2 - (7z)^2\\[0.5em] & = & (5x+7z)(5x-7z) \end{eqnarray*}$$ $

(1)

$(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$

であることから, 定数項を $2$ つの数の積で表すことから考えてみましょう。

$ $$\begin{eqnarray*} x^2+17x+70 & = & x^2 + (7+10)x + 7\times 10\\[0.5em] & = & (x+7)(x+10) \end{eqnarray*}$$ $

(2)
定数項の符号を見れば $1$ 次の項の係数が $2$ つの数の和なのか, 差なのかを判断できます。

$ $$\begin{eqnarray*} y^2 + 6y -27 & = & y^2+ (9-3)y + 9 \times (-3)\\[0.5em] & = & (y+9)(y-3) \end{eqnarray*}$$ $

(3)
共通の因数である $3$ でくくってから因数分解しましょう。

$ $$\begin{eqnarray*} 6x^2 -21x + 18 & = & 3 (2x^2 -7x +6)\\[0.5em] & = & 3\left( (1\times 2)x^2 - ( 1\times 3 + 2\times 2 )x + (2\times 3) \right)\\[0.5em] & = & 3(x-2)(2x - 3) \end{eqnarray*}$$ $

(4)
$(-1)$ でくくる時は, 符号が変わることに注意しましょう。

$ $$\begin{eqnarray*} -10z^2+29z-21 & = & - (10z^2 - 29z + 21)\\[0.5em] & = & - \left( (2\times 5)z^2 - ( 2\times 7 + 5\times 3 )z + (3\times 7) \right)\\[0.5em] & = & 3(2z-3)(5z - 7) \end{eqnarray*}$$ $

(1)
$3$ 乗の差の形になっていることに着目します。

$ $$\begin{eqnarray*} 27x^3 - 125 & = & (3x)^3 -5^3\\[0.5em] & = & (3x-5)( (3x)^2 + 3x \times 5 + 5^2)\\[0.5em] & = & (3x-5)(9x^2 + 15x + 25) \end{eqnarray*}$$ $

(2)
$(y^2+p)^2 - (qy)^2$ の形に変形します。

$ $$\begin{eqnarray*} y^4 + 4 & = & (y^4 +4y^2 + 4) - 4y^2\\[0.5em] & = & (y^2 + 2)^2 - (2y)^2\\[0.5em] & = & \left( (y^2+2) + 2y \right) \left( (y^2 + 2) - 2y\right)\\[0.5em] & = & (y^2+2y+2)(y^2-2y+2)\end{eqnarray*}$$ $

(3)
$x$ について降べきの順に整理してみます。

$ $$\begin{eqnarray*} x^2-9xy+14y^2+13x-66y+40 & = & x^2 - (9y - 13)x + (14y^2 - 66y +40) \end{eqnarray*}$$ $

$14y^2 -66y +40$ を先に因数分解します。

$ $$\begin{eqnarray*} 14y^2 - 66y + 40 & = & 2(7y^2-33y +20) \\[0.5em] & = & 2(y - 4)(7y - 5) \end{eqnarray*}$$ $

次に $x^2 - (9y-13)x +2(y - 4)(7y - 5)$ を因数分解します。

$9y-13 = (2y-8) + (7y-5)$

であるから, $2(y - 4)(7y - 5) = (2y-8)(7y-5)$ として

$ $$\begin{eqnarray*} x^2 - (9y-13)x +2(y - 4)(7y - 5)& = & x^2 - (9y-13)x +(2y - 8)(7y - 5) \\[0.5em] & = & \left(x - (2y-8) \right) \left( x - (7y-5)\right)\\[0.5em] & = & (x-2y+8)(x-7y+5) \end{eqnarray*}$$ $