点 $(a,b)$ を中心とし, 半径 $r$ の円の方程式は

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

となります。よって求める円の方程式は

$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$

$2$ 点 $(-14,9)$, $(-6,3)$ の間の距離は

$\sqrt{(-14-(-6))^2 + (9-3)^2} = \sqrt{100} = 10$

この $2$ 点が円の両端になるので, この円の半径は $\dfrac{10}{2} = 5$ となります。

また, この円の中心は $2$ 点を結ぶ線分の中点になるので, その座標は

$\left( \dfrac{-14-6}{2}, \dfrac{9+3}{2} \right) = \left(-10,6\right)$

求める円は中心の座標が $(-10,6)$, 半径が $5$ の円であるから, その方程式は

$(x+10)^2 + (y-6)^2 = 25$

となります。

中心が $y$ 軸上にあるので, 中心の座標を $(0,b)$, 半径を $r$ とすると, 求める円の方程式は

$x^2 + (y-b)^2 = r^2$

となります。点 $(2,8)$ を通るので, 上の式に代入すると

$2^2 + (8-b)^2 = r^2$

整理すると $b^2 -16b + 68= r^2$ となります。

同様に点 $(6,10)$ を通るので

$6^2 + (10-b)^2 = r^2$

整理すると $b^2 - 20b + 136 = r^2$ となります。$2$ つの式から $r$ を消去すると

$b^2 -16b + 68=b^2 - 20b + 136$

$4b = 136-68 = 68$ より $b = 17$ であり, また

$r^2 = 2^2 + (8-17)^2 = 4 +81 = 85$

よって求める円の方程式は $x^2 + (y-17)^2 = 85$ となります。

$x$ と $y$ それぞれについて平方完成することで,

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

の形になるよう式を変形します。

$x^2 + y^2 + 2x - 6y - 26 = 0$ より

$(x^2+2x) + (y^2-6y) =26$

$\left\{ (x+1)^2 -1\right\} + \left\{ (y-3)^2 -9 \right\} =26$

$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 26 + 10 = 36 = 6^2$

よってこの円の中心の座標は $(-1,3)$, 半径は $6$ となります。

点 ${\rm P}$ の座標を $(x,y)$ とすると

${\rm AP} = \sqrt{(x+5)^2 + (y-7)^2} $

${\rm BP} = \sqrt{(x+2)^2 + (y+5)^2} $

${\rm AP}:{\rm BP} = 1:2$ より $2{\rm AP} = {\rm BP}$ であるから

$2\sqrt{(x+5)^2 + (y-7)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + (y+5)^2}$

両辺を $2$ 乗して展開すると

$4 (x^2 + 10x + y^2-14y+74) = x^2+4x+y^2+10y+29$

整理すると

$3x^2 + 36x + 3y^2 - 66y + 267 = 0$

両辺を $3$ で割れば

$x^2 + 12x + y^2 -22y + 89 = 0$

上の式を変形すると

$(x+6)^2+ (y-11)^2 = 68 = (2\sqrt{17})^2$

よって点 ${\rm P}$ の軌跡は, 中心の座標が $(-6,11)$, 半径 $2\sqrt{17}$ の円になります。