傾きが $m$ で $y$ 切片が $n$ であるような直線の方程式は

$y = mx+n$

となります。よって求める直線の方程式は

$y = 2x+3$

点 $(x_1,y_1)$ を通り, 傾きが $m$ であるような直線の方程式は

$y - y_1 = m(x -x_1)$

となります。よって求める直線の方程式は

$y - (-2) = -5(x-(-5))$

整理すると

$y = -5x -27$

となります。

$2$ 点 ${\rm A}(x_1,y_1)$, ${\rm B}(x_2,y_2)$ (ただし, $x_1\not=x_2$) を通る直線の方程式は

$y - y_1 = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)$

となります。よって求める直線の方程式は

$y - 10 = \dfrac{10 - 3}{-3 -4}(x - (-3))$

整理すると $y = -(x+3) + 10 = -x+7$ となります。

(1)
$x$ 軸に平行な直線の方程式は $y$ の値が一定 (傾きが $0$) なので

$y = n$

となります。点 $(3,4)$ を通るので, 求める直線の方程式は

$y =4$

となります。

(2)
$y$ 軸に平行な直線の方程式は, $x$ の値が一定なので

$x = k$

となります。点 $(-1,-5)$ を通るので, 求める直線の方程式は

$x = -1$ となります。

両辺に $6$ をかけると

$6y = -4x + 3$

全ての項を左辺に移項すれば

$4x + 6y - 3 = 0$

となります。

(1)
$x$ 軸と平行になるのは直線の方程式が

$y = n$

の形の時なので, $n$ を左辺に移項すれば

$y-n=0$

式を比べると $a=0$ であることがわかります。

逆に $a = 0$ の時, $b\not=0$ であるから, 直線の方程式は

$y= -\dfrac{c}{b}$

となり, これは $x$ 軸に平行な直線であることがわかります。

(2)
$y$ 軸と平行になるのは直線の方程式が

$x = l$

の形の時なので, $l$ を左辺に移項すれば

$x-l=0$

式を比べると $b=0$ であることがわかります。

逆に $b = 0$ の時, $a\not=0$ であるから, 直線の方程式は

$x= -\dfrac{c}{a}$

となり, これは $y$ 軸に平行な直線であることがわかります。

(3)
$ax$ と $c$ を右辺に移項すると

$by = -ax -c$

$b\not=0$ より, 両辺を $b$ で割ると

$y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}$

よって, この直線の傾きは $-\dfrac{a}{b}$, $y$ 切片は $-\dfrac{c}{b}$ となります。