(1)
初項は $2$ であり, 次の項が前の項の $3$ 倍になっているので公比は $3$ になります。

(2)
初項は $-2$ であり, 次の項が前の項の $-2$ 倍になっているので公比は $-2$ になります。

(3)
初項は $8$ であり, 次の項が前の項の $\dfrac{3}{2}$ 倍になっているので公比は $\dfrac{3}{2}$ になります。

(4)
初項は $4$ であり, 数列の値が変わらないので公比は $1$ になります。

(1)
初項 $a$, 公比 $r$ の等比数列の一般項は

$a_n = ar^{n-1}$

と表せるので, 初項 $3$, 公比 $2$ の数列の一般項は $3\cdot 2^{n-1}$ となります。

(2)
一般項に $n=10$ を代入すると

$a_{10} = 3\cdot 2^9 = 3\cdot 512 = 1536$

よって第 $10$ 項は $1536$ になります。

(3)

$3\cdot 2^{n-1} = 6144$

とすると

$6144 = 3\cdot 2048 = 3\cdot 2^{11}$

であるから $n-1 = 11$ より $n=12$ となります。

この数列の初項を $a$, 公比を $r$ とすると, 一般項 $a_n$ は

$a_n = ar^{n-1}$

と表せます。第 $2$ 項の値が $4$ であることから

$4 = ar$

また, 第 $4$ 項の値が $16$ であることから

$16 = ar^3$

$ar$ は $0$ でないので

$r^2 = \dfrac{16}{ar} = \dfrac{16}{4} = 4$

公比 $r\gt 0$ より $r=2$, $a=2$ であることがわかります。

よってこの数列の一般項は $a_n=2\cdot 2^{n-1}= 2^n$ となります。

(1)
初項 $-11$, 公比 $2$ の等比数列なので, その一般項 $a_n$ は

$a_n = -11\cdot 2^{n-1}$

となります。

(2)
初項 $a$, 公比 $r(\not=1)$ の等比数列の第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

$S_n = \dfrac{a(1- r^n)}{1-r}$

と表すことができます。初項 $-11$, 公比 $2$ を代入すれば

$S_n = \dfrac{-11(1 - 2^n)}{1-2} = -11(2^n-1)$

よって第 $n$ 項までの和は $-11(2^n -1)$ となります。

(3)
(2) で求めた式を用いて

$-11(2^n -1) = -165$

整理すると

$2^n = 1 + \dfrac{165}{11} = 1+15=16 = 2^4$

よって $n=4$ となります。