$A$ と単位行列 $E$ を並べた行列

$\left( A|E\right) = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

に行基本変形を施していき, $\left( E | B \right)$ の形に変形します。

この時, 右側の行列 $B$ が $A$ の逆行列になります。

$2$ 行目と $3$ 行目から, $1$ 行目を引くと

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

$2$ 行目を $(-1)$ 倍すると

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

$1$ 行目から $2$ 行目の $3$ 倍を引き, $3$ 行目に $2$ 行目の $2$ 倍を加えると

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -2 & 1 \end{array} \right)$

$3$ 行目を $(-1)$ 倍すると

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & -1 \end{array} \right)$

$1$ 行目から $3$ 行目の $3$ 倍を引くと

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & -1 \end{array} \right)$

よって $A$ の逆行列は $\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ となります。

行列 $A$ と列ベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{b}$ を

$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 \\ -1 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$ $~~\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ $~~\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}$

と定めると, 連立方程式は

$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$

と書き表すことができます。よって左から $A$ の逆行列をかければ

$\overrightarrow{x} = A^{-1}\overrightarrow{b}$

となり, 方程式の解を求めることができます。

$\left( A | E \right)$ に行基本変形を施し, $A$ の逆行列を計算します。

$\left( A | E \right) = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\-2 & -1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

$2$ 行目に $1$ 行目を加え, $3$ 行目に $1$ 行目の $2$ 倍を加えると

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -8 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right)$

$2$ 行目を $(-1)$ 倍すると

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -7 & -8 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right)$

$1$ 行目に $2$ 行目の $3$ 倍を加え, $3$ 行目に $2$ 行目の $7$ 倍を加えると

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -5 & -7 & 1 \end{array} \right)$

$3$ 行目を $(-1)$ 倍すると

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 7 & -1 \end{array} \right)$

$2$ 行目から $3$ 行目を引くと

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -6 & -8 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 7 & -1 \end{array} \right)$

よって $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 0 \\ -6 & -8 & 1 \\ 5 & 7 & -1 \end{pmatrix}$ となります。

$\overrightarrow{x} = A^{-1}\overrightarrow{b}$ であるから, 連立方程式の解は

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 0 \\ -6 & -8 & 1 \\ 5 & 7 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

となります。