行列の計算 例題集

$Q1$.
$A = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 5 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ として, 次の計算をしなさい。

(1) $A + B$
(2) $3A$
(3) $3(A+2B) - 2(2A + B)$
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(1) $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 7 & 6 \end{pmatrix}$
(2) $\begin{pmatrix} 6 & 9\\ 12 & 15 \end{pmatrix}$
(3) $\begin{pmatrix} -6 & 5 \\ 8 & -1 \end{pmatrix}$

(1)
行列同士の和・差は各成分ごとに計算します。

$A +B = \begin{pmatrix} 2+(-1) & 3 + 2\\ 4 +3 & 5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5\\ 7 & 6 \end{pmatrix}$

(2)
行列の定数倍は各成分を定数倍します。

$3A = \begin{pmatrix} 3\cdot 2 & 3\cdot 3\\ 3\cdot 4 & 3\cdot 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 & 9\\ 12 & 15 \end{pmatrix}$

(3)
式を整理してから各成分を計算しましょう

$3(A+2B) - 2(2A+B) = (3A+6B) - (4A + 2B) = -A+4B$

ここで

$-A = \begin{pmatrix} -2 & -3\\ -4 & -5 \end{pmatrix}~~~4B = \begin{pmatrix} -4 & 8\\ 12 & 4 \end{pmatrix}$

であるから

$\begin{eqnarray*}3(A+2B) - 2(2A+B) & = & -A+4B \\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} -2+(-4) & -3 +8\\ -4+12 & -5+4 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} -6 & 5 \\ 8 & -1 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$

$Q2$.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ に対し $2(A+X) = 3(X-B)$ を満たす行列 $X$ を求めなさい。

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$\begin{pmatrix} -1 & 3 & 11 \\ 10 & 9 & 10 \end{pmatrix}$

式を整理すると

$\begin{eqnarray*} 2(A+X) & = & 3(X-B) \\[0.5em] 2A + 2X& = & 3X-3B \\[0.5em] 2A + 3B & = & 3X - 2X =X \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{eqnarray*} X & = & 2A + 3B\\[0.5em] & = & 2\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} -1 & -1 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 2 - 3 & 6 -3 & -4 + 15 \\ 4 + 6 & 0 + 9 & -2 + 12 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 3 & 11 \\ 10 & 9 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$Q3$.
次の行列 $A$, $B$ に対し, $AB$ を計算しなさい。

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$
(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
(3) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
(4) $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$
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(1) $\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 10 & -2 \end{pmatrix}$
(2) $\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$
(3) $\begin{pmatrix} 11 \end{pmatrix}$
(4) $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$

定義通りに落ち着いて計算しましょう。

(1)

$\begin{eqnarray*} AB & = & \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 2\cdot 3 + 1\cdot(-1) & 2\cdot(-2) + 1\cdot 3 \\ 4\cdot 3 + 2\cdot(-1) & 4\cdot (-2) + 2\cdot 3 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 10 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*} AB & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 2\cdot 2 \\ 3\cdot 1 + 4\cdot 2 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(3)

$\begin{eqnarray*} AB & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 1\cdot 3 + 2\cdot4 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

※注意 $1\times 1$ 行列は $(~)$ を省略して単に $11$ と表すこともあります。

(4)

$\begin{eqnarray*} AB & = & \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 1\cdot 3 & 1\cdot 4 \\ 2\cdot 3 & 2\cdot 4 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$Q4$.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ に対し, $A^2$, $A^3$ をそれぞれ計算しなさい。

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$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}$
$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 26 & 27 \end{pmatrix}$

文字の時と同様に, 行列 $A$ の $n$ 個の積を $A^n$ と書き表します。

$A^2 =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\begin{eqnarray*} A^3 & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 26 & 27 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$Q5$.
$A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ について, $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ である時, $a$ の値を求めなさい。

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$a = -4$

$A^2$ を計算すると

$\begin{eqnarray*} A^2 & = & \begin{pmatrix} 2 & a \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & a \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\\[0.5em] & = & \begin{pmatrix} 4+a & 0 \\ 0 & a+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$a+4=0$ であればよいので $a=-4$ となります。

$Q6$.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ に対し, 次の行列を計算しなさい。

(1) $(A+B)^2$
(2) $A^2 + 2AB + B^2$
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(1) $(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$
(2) $A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

(1)

$A+B =\begin{pmatrix} 1+1 & 0+1 \\ -1+2 & 1+0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

であるから

$(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

(2)

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

よって

$A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 1+2+3 & 0 + 2 + 1 \\ -2+ 2 +2 & 1-2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

※注意

この例からわかるように, 行列の計算において一般には

$(A+B)^2 \not=A^2 + 2AB +B^2$

となります。

$Q7$ [応用問題].
複素数 $\alpha = a + bi$ ($i$ は虚数単位) に対し, $2$ 次の正方行列 $A_{\alpha}$ を

$A_{\alpha} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$

と定める。この時, 次が成り立つことを証明しなさい。

(1) 実数 $k$ に対し $A_{k} = kE$
(2) 複素数 $\alpha$, $\beta$ に対し $A_{\alpha} + A_{\beta} = A_{\alpha + \beta}$
(3) 複素数 $\alpha$, $\beta$ に対し $A_{\alpha} A_{\beta} = A_{\alpha \beta}$
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(1)
$A_{\alpha}$ の定め方から

$A_k = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = kE$

よって $A_k = kE$ が成り立つ。

(2)
$\alpha = a+bi$, $\beta = c +di$ とすると

$\alpha + \beta = (a+c) + (b+d)i$

であるから

$A_{\alpha} + A_{\beta} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix} = A_{\alpha + \beta}$

よって $A_{\alpha + \beta} = A_{\alpha} + A_{\beta}$ が成り立つ。

(3)
$\alpha = a + bi$, $\beta = c+di$ とすると

$\alpha \beta = (ac -bd) + (ad +bc)i$

であるから

$A_{\alpha}A_{\beta} =\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac-bd \end{pmatrix} = A_{\alpha \beta}$

よって $A_{\alpha \beta} = A_{\alpha}A_{\beta}$ が成り立つ。