行列の縦の長さが $m$, 横の長さが $n$ の時, その行列を $m$ 行 $n$ 列の行列, または $m\times n$ 行列といいます。

(1)
縦に $3$ つ, 横に $4$ つ並んでいるので $3$ 行 $4$ 列の行列です。

(2)
縦に $1$ つ, 横に $5$ つ並んでいるので $1$ 行 $5$ 列の行列です。

(3)
縦に $1$ つ, 横に $1$ つ並んでいるので $1$ 行 $1$ 列の行列です。

行列の中の第 $m$ 行かつ第 $n$ 列の値を, その行列の $(m,n)$ 成分といいます。

(1)
$(2,3)$ 成分は $2$ 行目かつ $3$ 列目の値なので, 赤い部分になります。

$\begin{pmatrix} 1 & 9 & 2 & 6 \\ 1 & 9 & \color{red}{8} & 9 \\ 2 & 0 & 1 & 9 \end{pmatrix}$

(2)
$(1,2)$ 成分は $1$ 行目かつ $2$ 列目の値なので, 赤い部分になります。

$\begin{pmatrix} 2 & \color{red}{3} \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

(3)
$(4,2)$ 成分は $4$ 行目かつ $2$ 列目の値なので, 赤い部分になります。

$\begin{pmatrix} 10 & 3 & 7 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & 12 & -43 \\ 54 & \color{red}{32} & 81 \end{pmatrix}$

(1)
全ての成分の値が $0$ である行列を 零行列 といいます。

(2)
$n \times n$ 行列を $n$ 次の正方行列 といいます。$(m,n)$ 成分の値が $m+2n$ なので

$\begin{pmatrix} 1+2\cdot 1 & 1+2\cdot 2 \\ 2+2\cdot 1 & 2+2\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 5 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$

(3)
対角成分以外の値が全て $0$ である正方行列を 対角行列 といいます。$(n,n)$ 成分の値が $n^2-1$ なので

$\begin{pmatrix}1^2-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^2-1 & 0 \\ 0 & 0 & 3^2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$

※注意: 対角成分以外の値が全て $0$ であれば, 対角成分が $0$ であっても対角行列であることに注意しましょう。

(4)
対角成分の値が全て $1$ である正方行列を 単位行列 といいます。