$Q1$.
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a} = (6,-3)$, $\overrightarrow{b} = (-8t + 4, 2t-10)$ が平行になるように実数 $t$ の値を定めなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
四角形 ${\rm ABCD}$ について, $\overrightarrow{{\rm DC}} = \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm AD}}$ の時, 線分 ${\rm AD} $ と ${\rm CB}$ は平行であることを証明しなさい。
解答・解説を見る$\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{{\rm AC}} = \overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{{\rm AD}} = \overrightarrow{d}$ とすると
$\overrightarrow{{\rm DC}} = \overrightarrow{{\rm AC}} - \overrightarrow{{\rm AD}}$ であり, また $\overrightarrow{{\rm DC}} = \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm AD}}$ であるから
$\overrightarrow{c} - \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}$
よって $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{d}$ が成り立つ。すると
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm CB}} & = & \overrightarrow{{\rm AB}} - \overrightarrow{{\rm AC}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{b} - (\overrightarrow{b} +2\overrightarrow{d}) = -2\overrightarrow{d} = -2\overrightarrow{{\rm AD}} \end{eqnarray*}$
$\overrightarrow{{\rm CB}} = -2\overrightarrow{{\rm AD}}$ より, ${\rm CB}$ と ${\rm AD}$ は平行である。
$Q3$.
$|\overrightarrow{x}| = 4$, $|\overrightarrow{y}| = 2$, $\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y} = -4$ である $2$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ について, $7t\overrightarrow{x} + 4\overrightarrow{y}$ と $-2\overrightarrow{x} -9\overrightarrow{y}$ が垂直となるように実数 $t$ の値を定めなさい。
解答・解説を見る$(7t\overrightarrow{x} + 4\overrightarrow{y}) \cdot (-2\overrightarrow{x} -9\overrightarrow{y} )= 0$ となるので
$\begin{eqnarray*}(7t\overrightarrow{x} + 4\overrightarrow{y}) \cdot (-2\overrightarrow{x} -9\overrightarrow{y} ) & = & -14t |\overrightarrow{x}|^2 -(63t + 8)\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y} -36|\overrightarrow{y}|^2\\[0.5em] & = & -224t +4 (63t + 8) -144\\[0.5em] & = & 28t - 112=0 \end{eqnarray*}$
よって $t = 4$ となります。
$Q4$.
$\overrightarrow{a} = (3,4)$, $\overrightarrow{b} = (2,1)$ に対し, $\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{b}$ が垂直となるように実数 $t$ の値を定めなさい。
解答・解説を見る$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} = (3+2t,4+t)$
であり, $\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}) = 0$ であればよいので
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}) & = & 2(3+2t) + (4+t) \\[0.5em] & = & 5t + 10 = 0 \end{eqnarray*}$
よって $t = -2$ となります。
$Q5$.
平面上の点 ${\rm A}(1,7)$, ${\rm B} (5,7)$ に対し ${\rm AB}$ を $1:3$ に内分する点を ${\rm X}$, ${\rm AB}$ を $1:3$ に外分する点を ${\rm Y}$ とする時, $\overrightarrow{{\rm OX}}$, $\overrightarrow{{\rm OY}}$ をそれぞれ求めなさい。
解答・解説を見る線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に内分する点の位置ベクトルは
$\dfrac{ n\overrightarrow{{\rm OA}} + m\overrightarrow{{\rm OB}}}{m+n}$
で与えられるので
$\overrightarrow{{\rm OX}} = \left( \dfrac{3\cdot 1+ 1\cdot 5}{1+3}, \dfrac{3\cdot 7 + 1\cdot 7}{1+3}\right) = \left( 2,7\right)$
また, 線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に外分する点の位置ベクトルは
$\dfrac{ -n\overrightarrow{{\rm OA}} + m\overrightarrow{{\rm OB}}}{m-n}$
で与えられるので
$\overrightarrow{{\rm OY}} = \left( \dfrac{-3\cdot 1+ 1\cdot 5}{1-3}, \dfrac{-3\cdot 7 + 1\cdot 7}{1-3}\right) = \left( -1,7\right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行の時, $\overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a}$ となる実数 $k$ が存在するので
$\begin{eqnarray*} -8t + 4 & = & 6k & \cdots(1)\\ 2t -10 & = & -3k & \cdots(2) \end{eqnarray*}$
$(1) + 2\cdot(2)$ を計算すると
$(-8t+4) + 2(2t-10) = -4t -16=0$
よって $t=-4$ となります。