定数係数 $2$ 階斉次線形微分方程式

$\dfrac{d^2 x}{dt^2} + a\dfrac{dx}{dt} + b=0$

の一般解は, 特性方程式

$\lambda^2 +a\lambda + b=0$

がどのような解を持つかで変わります。

$\lambda^2 - 15\lambda + 56=0$ とすると

$\lambda^2 - 15\lambda + 56 = (\lambda - 7)(\lambda -8)=0$

$\lambda = 7,8$ となるので, 一般解は

$x= C_1e^{8t} + C_2e^{7t}~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)

となります。

また, $t=0$ の時 $x=1$, $\dfrac{dx}{dt} = 2$ なので

$\left\{ \begin{aligned} C_1 + C_2 &= 1 \\ 8C_1 + 7C_2 &= 2 \end{aligned} \right.$

これを解くと $C_1 = -5$, $C_2= 6$ となるので, 特殊解は

$x = -5e^{8t} + 6e^{7t}$

となります。

$\lambda^2 - 20\lambda + 100=0$ とすると

$\lambda^2 - 20\lambda + 100 = (\lambda -10)^2=0$

$\lambda = 10$ (重解) となるので, 一般解は

$x= (C_1+C_2t)e^{10t}~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)

となります。

また, $t=0$ の時 $x=1$, $\dfrac{dx}{dt} = 2$ であり

$\dfrac{dx}{dt} = C_2e^{10t} +10(C_1+C_2t)e^{10t} = (10C_1 + 11C_2)e^{10t}$

より

$\left\{ \begin{aligned} C_1 + C_2 &= 1 \\ 8C_1 + 7C_2 &= 2 \end{aligned} \right.$

これを解くと $C_1 = -5$, $C_2= 6$ となります。よって特殊解は

$x = -5e^{8t} + 6e^{7t}$

となります。

$\lambda^2 + 20\lambda + 149=0$ とすると

$\lambda = \dfrac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4\cdot 149}}{2} = -10\pm 7i$

$2$ つの複素数解を持つので, 一般解は

$x= e^{-10t}(C_1\cos 7t + C_2\sin 7t)~~$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数)

となります。

また, $t=0$ の時 $x=3$ であるから

$C_1 = 3$

$\dfrac{dx}{dt} = 5$ であり

$\cfrac{dx}{dt} = -10 e^{-10t} ( C_1 \cos 7t + C_2 \sin 7t ) + e^{-10t} (-7C_1\sin 7t + 7C_2\cos 7t )$

より

$-10C_1 +7C_2 = 5$

$C_1=3$ を代入すると $C_2 = 5$ となります。よって特殊解は

$x= e^{-10t}(3\cos 7t + 5\sin 7t)$

となります。