9. 合成関数の微分法 例題集

$Q1$.
次で与えられる関数について, 合成関数の微分法を用いて $\dfrac{dz}{dt}$ を求めなさい。

$z = x^2+y^3,~~x = e^t,~~y = e^{-t}$
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$2e^{2t} - 3e^{-3t}$

全微分可能な関数 $z = f(x,y)$ に対し, $x$ と $y$ がともに $t$ の関数で $t$ で微分可能である時

$\dfrac{dz}{dt} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}$

が成り立ちます。

$z = x^2+y^3$ より

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2x,~~\dfrac{\partial z}{\partial y} = 3y^2$

また

$\dfrac{dx}{dt} = e^t,~~\dfrac{dy}{dt} = -e^{-t}$

よって

$\dfrac{dz}{dt} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} = 2e^t \cdot e^t + 3e^{-2t}(-e^{-t}) = 2e^{2t} - 3e^{-3t}$

となります。

$Q2$.
次で与えられる関数について, 合成関数の微分法を用いて $z_u,~z_v$ を求めなさい。

$z = \dfrac{1}{x+y},~~x = uv,~~y = u+v$
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$z_u = -\dfrac{v+1}{(uv+u+v)^2}$
$z_v = -\dfrac{u+1}{(uv+u+v)^2}$

$z = f(x,y)$ に対し, $x$ と $y$ がともに $u$, $v$ に関する $2$ 変数関数で, かつ偏微分可能である時

$\dfrac{\partial z}{\partial u} = \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial u}$

$\dfrac{\partial z}{\partial v} = \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial v}$

が成り立ちます。

$z = \dfrac{1}{x+y}$ より

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{1}{(x+y)^2},~~\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{1}{(x+y)^2}$

また

$\dfrac{\partial x}{\partial u} = v,~~\dfrac{\partial x}{\partial v} = u,~~\dfrac{\partial y}{\partial u} = 1,~~\dfrac{\partial y}{\partial v}=1$

であるから

$\begin{eqnarray*}\dfrac{\partial z}{\partial u} & = & \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial u}\\[1em] & = & -\dfrac{v}{(uv+u+v)^2} - \dfrac{1}{(uv+u+v)^2}\\[1em] & = & -\dfrac{v+1}{(uv+u+v)^2} \end{eqnarray*}$

同様に

$\begin{eqnarray*}\dfrac{\partial z}{\partial v} & = & \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial v}\\[1em] & = & -\dfrac{u}{(uv+u+v)^2} - \dfrac{1}{(uv+u+v)^2}\\[1em] & = & -\dfrac{u+1}{(uv+u+v)^2} \end{eqnarray*}$

となります。

$Q3$.
全微分可能な関数 $z=f(x,y)$ に対し, $a,b,k,h$ を定数として $z = f(a+ht,b+kt)$ とした時, $\dfrac{df}{dt}$ を $f_x,f_y$ と $a,b,h,k$ を用いて表しなさい。

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$\dfrac{df}{dt}= hf_x + kf_y$

$x = a + ht,~~y = b + kt$ であるから

$\dfrac{dx}{dt} = h,~~\dfrac{dy}{dt} = k$

よって

$\cfrac{df}{dt}=\cfrac{\partial f}{\partial x}\cfrac{dx}{dt}+\cfrac{\partial f}{\partial y} \cfrac{dy}{dt} = hf_x(a + ht,\ b + kt) + kf_y(a + ht,\ b + kt)$

$Q4$.
全微分可能な関数 $z=f(x,y)$ に対し, $x = r\cos \theta$, $y = r\sin \theta$ とした時, $\dfrac{\partial f}{\partial r}$ と $\dfrac{\partial f}{\partial \theta}$ を $f_x,f_y$ と $r,\theta$ を用いてそれぞれ表しなさい。

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$\dfrac{\partial f}{\partial r} = f_x \cos \theta + f_y \sin \theta$
$\dfrac{\partial f}{\partial \theta} = -f_x r \sin \theta + f_y r \cos \theta$

$x=r\cos \theta$ であるから

$\dfrac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta,~~\dfrac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin \theta$

また, $y = r\sin \theta$ であるから

$\dfrac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta,~~\dfrac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos \theta$

よって

$\dfrac{\partial f}{\partial r} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial r} = f_x\cos \theta + f_y\sin \theta$

また

$\dfrac{\partial f}{\partial \theta} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial \theta} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial \theta} = -f_xr\sin \theta + f_yr\cos \theta$

となります。