$Q1$.
次の関数について, 増減表を書きその増減を調べなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
次の関数について, 増減表を書きその増減を調べなさい。
解答・解説を見る$f(x)$ を微分すると
$\begin{eqnarray*}f'(x) & = & -9x^2+72x-135\\[0.5em] & = & -9(x^2-8x+15) \\[0.5em] & = & -9(x-3)(x-5) \end{eqnarray*}$
であるから
$x \lt 3$ または $5 \lt x$ の時 $f'(x) \lt 0$
であり, また
$3 \lt x \lt 5$ の時 $f'(x) \gt 0$
となります。
このことから増減表を書くと下のようになります。
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & 3 & \cdots & 5 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \searrow & -156 & \nearrow & -144 & \searrow \\ \hline \end{array}$
$Q3$.
ある区間 $I$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対し, 平均値の定理を用いて次の主張を証明しなさい。
解答・解説を見る区間 $I$ 内の点 $x_1$, $x_2$ に対し
$x_1 \lt x_2$ ならば $f(x_1) \lt f(x_2)$
であることを証明すればよい。
$f(x)$ は区間 $I$ で微分可能であるから, 区間 $[x_1,x_2]$ で連続かつ $(x_1,x_2)$ で微分可能である。
よって平均値の定理より
$\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)~~(x_1 \lt c \lt x_2)$
を満たす $c$ が存在する。
$f(x)$ は区間 $I$ で $f'(x) \gt 0$ であるから特に $f'(c) \gt 0$ であり, 仮定より $x_1 \lt x_2$ であるから
$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) \gt 0$
$f(x_1) \lt f(x_2)$ より, $f(x)$ は区間 $I$ で単調に増加する。
同様にして次の主張も証明できます。
区間 $I$ で $f'(x) \lt 0$ ならば, $f(x)$ は $I$ で単調に減少する。
ある区間 $I$ で微分可能な関数 $f(x)$ について次のことが成り立ちます。
区間 $I$ で $f'(x) \lt 0$ ならば $f(x)$ は $I$ で単調に減少する。
区間 $I$ で $f'(x) \gt 0$ ならば $f(x)$ は $I$ で単調に増加する。
$f(x)$ を微分すると
$f'(x) = 2x -4$
であるから
$x \lt 2$ の時 $f'(x) \lt 0$
であり, また
$x \gt 2$ の時 $f'(x) \gt 0$
となります。
このことから増減表を書くと下のようになります。
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & -3 & \nearrow \\ \hline \end{array}$