(1)
左辺を因数分解すると

$\begin{eqnarray*}x^5 - 34x^3 + 225x & = & x(x^4-34x^2 +225)\\[0.5em] & = & x(x^2-9)(x^2-25)\\[0.5em] & = & x(x+3)(x-3)(x+5)(x-5)\end{eqnarray*}$

よって

$x(x+3)(x-3)(x+5)(x-5)=0$

より, $x = 0$, $\pm3$, $\pm 5$ となります。

(2)
$P(x) = x^4+2x^3-9x^2-2x+8$ とおくと

$P(1) = 1+2-9-2+8=0$

因数定理から $P(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つことがわかります。

$P(x)$ を $(x-1)$ で割ると

$x^4+2x^3-9x^2-2x+8 = (x-1)(x^3 +3x^2 -6x -8)$

次に $Q(x) = x^3 +3x^2 -6x -8$ とおくと

$Q(2) = 8 + 12 -12 -8 =0$

再び因数定理から $Q(x)$ は $(x-2)$ を因数に持つことがわかります。よって

$\begin{eqnarray*} Q(x) & = & (x-2)(x^2+5x+4)\\[0.5em] & = & (x-2)(x+1)(x+4)\end{eqnarray*}$

以上から

$\begin{eqnarray*}x^4+2x^3-9x^2-2x+8 & = &(x-1)(x^3+3x^2-6x-8)\\[0.5em] & = & (x-1)(x-2)(x+1)(x+4)=0\end{eqnarray*}$

よって $x=-4$, $-1$, $1$, $2$ となります。

(1)
$x$ を消去するために第 $1$ 式を $2$ 倍して第 $2$ 式から引くと

$\begin{eqnarray*}(4x+3y) - 2(2x+y) & = & 7 - 2\cdot 5\\[0.5em] y & = & -3\end{eqnarray*}$

$y=-3$ を第 $1$ 式に代入すると

$2x+(-3)=5$

整理すると $x=4$ となります。よって $x=4$, $y=-3$ が解となります。

(2)
第 $1$ 式と第 $2$ 式を使って $z$ を消去すると

$\begin{eqnarray*}5(4x+5y-4z) +4(-3x-3y+5z) & = & 5\cdot 17-4\cdot 11\\[0.5em] 8x + 13y & = & 41 ~\cdots (a) \end{eqnarray*}$

同様に, 第 $1$ 式と第 $3$ 式を使って $z$ を消去すると

$\begin{eqnarray*} (4x+5y-4z) + (5x+5y+4z) & = & 17+6\\[0.5em] 9x + 10y & = & 23 ~\cdots (b) \end{eqnarray*}$

$(a)$ と $(b)$ を使って $y$ を消去すると

$\begin{eqnarray*} 10(8x+13y) - 13(9x+10y) & = & 10\cdot 41 - 13\cdot 23\\[0.5em] -37x & = & 111 \end{eqnarray*}$

よって $x=-3$ であることがわかります。これを $(b)$ に代入すると

$-27 + 10y = 23$

整理すれば $y=5$ となることがわかります。

最後に $x=-3$, $y=5$ を最初の方程式のいずれかに代入すれば $z =-1$ を得ることができます。

以上から $x=-3$, $y=5$, $z=-1$ が解となります。

絶対値の中の符号で場合分けをします。条件に満たさないものは解にならないことに注意しましょう。

(1)
$x+4 \geqq 0$ のとき, $|x+4|=x+4$ より

$x+4 = 3$

これを解くと $x=-1$ となります。

また, $x+4 \lt 0$ のとき, $|x+4|=-(x+4)$ より

$-(x+4) = 3$

これを解くと $x=-7$ となります。

以上から $x= -7$, $-1$ が解となります。

(2)
$x \lt 0$ のとき, $|x| = -x $ かつ $|2x-3| = -(2x -3)$ より

$\begin{eqnarray*} |x| + |2x-3| & = & -x-(2x-3)\\[0.5em] & = & -3x+3=6\end{eqnarray*}$

整理すれば $x=-1$ となります。

次に, $0 \leqq x \lt \dfrac{3}{2}$ のとき, $|x| = x$ かつ $|2x-3| = -(2x-3)$ より

$\begin{eqnarray*} |x| + |2x-3| & = & x-(2x-3)\\[0.5em] & = & -x+3=6\end{eqnarray*}$

整理すると $x=-3$ となりますが, これは $0 \leqq x \lt \dfrac{3}{2}$ に反します。

最後に, $\dfrac{3}{2} \leqq x$ のとき, $|x|=x$ かつ $|2x-3| = 2x-3$ より

$\begin{eqnarray*} |x| + |2x-3| & = & x+(2x-3)\\[0.5em] & = & 3x -3=6\end{eqnarray*}$

整理すると $x=3$ となります。

以上から $x=-1$, $3$ が解となります。

(3)
$x+2 \lt 0$ のとき, $|x+2| = -(x+2)$ より

$-(x+2) = -3x+10$

整理すると $2x = 12$ より $x=6$ となりますが, これは $x+2 \lt 0$ に反します。

次に, $x+2 \geqq 0$ のとき, $|x+2| = x+2$ より

$x+2 = -3x+10$

整理すると $4x=8$ より $x=2$ となります。

以上から $x=2$ が解となります。

分母が $0$ となってしまうものは解にならないことに注意しましょう

$x^2 -14x+24=(x-2)(x-12)$ であり, $x^2-9x+14 = (x-2)(x-7)$ であるから

方程式の両辺に $(x-12)(x-7)(x-2)$ をかけると

$\begin{eqnarray*}(x+4)(x-7) & = & 3(x-12)\\[0.5em] x^2-3x-28 & = & 3x-36\\[0.5em] x^2-6x+8 & = & 0\end{eqnarray*}$

$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$ より $x=2$, $4$ を得ます。

ここで, $x=2$ の時は分母が $0$ になってしまうので解ではありません。

よって $x= 4$ が解となります。

平方根と, 平方根の中の値は $0$ 以上であることに注意しましょう。

平方根の中の値は $0$ 以上であるから $x+3 \geqq 0$ より $x \geqq -3$ であり

(左辺) $\geqq 0$ であるから (右辺) $=x-9 \geqq 0$ より $x \geqq 9$ となります。

これらの条件をまとめると $x \geqq 9$ であることがわかります。

方程式の両辺を $2$ 乗すると

$x+3 = (x-9)^2$

右辺を展開し, 整理すると

$x^2 - 19x +78=0$

$x^2 -19x + 78 = (x-6)(x-13)$ であるから $x=6$, $13$ を得ます。

ここで, $x \geqq 9$ であるから, $x=6$ は解ではありません。

よって $x=13$ が解となります。