関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における $y$ の値を $f(a)$ と表します。

(1)
$f(x)$ に $x=2$ を代入すると

$f(2) = 4\cdot 2 + 7 = 15$

よって $f(2) = 15$ となります。

(2)
$f(x)$ に $x=\alpha-1$ を代入すると

$f(\alpha-1) = (-5)\cdot (\alpha-1) -12 = -5\alpha + 5-12=-5\alpha-7$

(3)
定数関数は常に同じ値をとる関数です。

$f(5) = 3$

(4)
$f(x)$ に $x=-2$ を代入すると

$\begin{eqnarray*}f(-2) & = & (-2)^3 -2\cdot(-2)^2 -5\cdot(-2) + 6\\[0.5em] & = & -8-8+10+6 = 0\end{eqnarray*}$

定数 $a$, $b$ ($a \not=0$) を用いて $y=ax+b$ と表せる関数を $1$ 次関数といいます。

与えられた条件を使って $a$ と $b$ の値を定めましょう。

(1)
$1$ 次関数 $y=ax+b$ について, $a$ を傾き, $b$ を切片といいます。

傾きが $3$, 切片が $-5$ であることから, 求める $1$ 次関数は $y=3x-5$ となります。

(2)
傾きが $-1$ であることから, 求める $1$ 次関数は $y=-x+b$ と置けます。

$x=2$ の時, $y=-2$ であることから

$-2 = (-1)\cdot 2 + b = -2+b$

$b=0$ より, $y=-x$ となります。

(3)
切片が $4$ であることから, 求める $1$ 次関数は $y= ax+4$ と表せます。

$f(-1)=6$ より $x=-1$ の時, $y=6$ なので

$6 = a\cdot (-1) + 4 = -a+4$

$a = 4-6 = -2$ より, $y = -2x+4$ となります。

(4)
$y=f(x)$ のグラフが $2$ 点 $(2,2)$, $(5,8)$ を通るので

$x=2$ の時 $y=2$, また $x=5$ の時 $y=8$ となります。

求める $1$ 次関数を $y=ax+b$ と置くと

$\begin{cases}2 = 2a + b \\ 8 = 5a+b\end{cases}$

この連立 $1$ 次方程式を解くと $a=2$, $b=-2$ となります。

よって $y= 2x-2$ となります。

$1$ 次関数 $y=f(x)$ の定義域が $\alpha \leqq x \leqq \beta$ の形の時, その値域は

$f(\alpha ) \leqq y \leqq f(\beta)$

もしくは

$f(\beta) \leqq y \leqq f(\alpha)$

の形になります。どちらになるかは $f(x)$ の傾きの符号によって決まります。

(1)
$1\leqq x \leqq 6$ の時

$\begin{eqnarray*}4 &\leqq & 4x & \leqq & 24\\ 6 & \leqq & 4x + 2 & \leqq & 26\end{eqnarray*}$

$y=4x+2$ より $y$ の値域は $6 \leqq y \leqq 26$ となります。

(2)
$-1 \lt x \lt 3$ より

$\begin{eqnarray*}-3 & \lt & -x & \lt & 1\\ -6 & \lt & -2x & \lt & 2 \\ -1 & \lt & -2x + 5 & \lt & 7\end{eqnarray*}$

$y=-2x+5$ より $y$ の値域は $-1 \lt y \lt 7$ となります。

(3)
$2 \leqq x \lt 5$ の時

$\begin{eqnarray*}4 & \leqq & 2x & \lt & 10\\ -3 & \leqq & 2x-7 & \lt & 3\end{eqnarray*}$

$y=2x-7$ より $y$ の値域は $-3 \leqq y \lt 3$ となります。

(4)
$-4 \lt x \leqq 0$ の時

$\begin{eqnarray*}0 & \leqq & -x & \lt & 4\\ 3 & \leqq & -x+3 & \lt & 7\end{eqnarray*}$

$y=-x+3$ より $y$ の値域は $3 \leqq y \lt 7$ となります。