$\alpha$, $\beta$ はともに第 $1$ 象限の角なので $\sin \alpha \gt 0$, $\cos \beta \gt 0$ となります。

$\sin \alpha = \sqrt{ 1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}$

また

$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \dfrac{49}{625}} = \dfrac{24}{25}$

であるから, 加法定理より

$\sin \left( \alpha + \beta\right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{24}{25} + \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{7}{25} = \dfrac{117}{125}$

$\alpha$ は第 $1$ 象限の角なので $\sin \alpha \gt 0$,

$\beta$ は第 $2$ 象限の角なので $\cos \beta \lt 0$ となります。

$\sin \alpha = \sqrt{ 1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{64}{289}} = \dfrac{15}{17}$

また

$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = -\dfrac{4}{5}$

加法定理より

$\cos \left( \alpha + \beta\right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \dfrac{8}{17}\cdot \left(- \dfrac{4}{5}\right) - \dfrac{15}{17}\cdot \dfrac{3}{5} = -\dfrac{77}{85}$

$\alpha$ は第 $2$ 象限の角なので $\sin \alpha \gt 0$,

$\beta$ は第 $3$ 象限の角なので $\cos \beta \lt 0$ となります。

$\sin \alpha = \sqrt{ 1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{16}{25}} = \dfrac{3}{5}$

また

$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - \dfrac{49}{625}} = -\dfrac{24}{25}$

であるから

$\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\dfrac{3}{4}$

また

$\tan \beta = \dfrac{\sin \beta}{\cos \beta} = \dfrac{7}{24}$

よって, 加法定理より

$\begin{eqnarray*}\tan \left( \alpha + \beta\right) & = & \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\\[1em] & = & \dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{7}{24}}{1 - \left(-\dfrac{3}{4}\right)\cdot \dfrac{7}{24}} = \dfrac{-\dfrac{11}{24}}{1 + \dfrac{21}{96}} = -\dfrac{44}{117}\end{eqnarray*}$

(1)
加法定理を利用すると

$\begin{eqnarray*}\sin 105^{\circ} & = & \sin \left( 60^\circ + 45^\circ \right)\\[0.5em] & = & \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ\\[0.5em] & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}+ \sqrt{2}}{4}\end{eqnarray*} $

(2)

$\begin{eqnarray*}\cos 75^\circ & = & \cos \left( 30^\circ + 45^\circ \right)\\[0.5em] & = & \cos 30^\circ \cos 45^\circ - \sin 30^\circ \sin 45^\circ\\[0.5em] & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\end{eqnarray*}$

(3)

$\begin{eqnarray*} \tan 15^\circ & = & \tan \left(45^\circ - 30^\circ \right)\\[1em] & = & \dfrac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ}\\[1em] & = & \dfrac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\\[1em] & = & \dfrac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\\[1em] & = & \dfrac{\left(3- \sqrt{3}\right)^2}{3^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2} = \dfrac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2- \sqrt{3}\end{eqnarray*}$