6. 数列 例題集
$Q1$.
正の偶数を小さい順に並べた無限数列
$2,4,6,8,\cdots$
に対し, 以下の問いに答えなさい。
(1) 第 $10$ 項はいくつになるか答えなさい。
(2) 一般項を $n$ の式で表しなさい。
解答・解説を見る(1) $20$
(2) $2n$
$Q2$.
$100$ 以下の正の $7$ の倍数を小さい順に並べた有限数列に対し, 次の問いに答えなさい。
(1) 末項はいくつになるか答えなさい。
(2) この数列の項数を求めなさい。
解答・解説を見る(1) $98$
(2) $14$
(1)
小さい順に並べているので, $100$ 以下の $7$ の倍数の中で最も大きい数がこの数列の末項になります。
一般に $7$ の倍数は $7n$ と表せるので
$7n \leqq 100$
とすると
$n \leqq \dfrac{100}{7} = 14.28\ldots$
よって $100$ 以下の $7$ の倍数の最大値は $n=14$ の時で, その値は
$7\cdot 14 = 98$
となります。
(2)
$7$ の倍数は $7n$ と表せ, 初項が $7$ であることと (1) より
$1 \leqq n \leqq 14$
であるから, この数列の項数は $14$ になります。
(1)
順に数えていくと
$2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,\cdots$
となるので, 第 $10$ 項は $20$ になります。
(2)
第 $n$ 項を $a_n$ とすると
$a_1 = 2,~a_2=4,~a_3=6,\cdots$
となるので, 第 $n$ 項は
$a_n = 2n$
となります。