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次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{5x^2 - 9x + 2}{10x^2 - 7x - 6}$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{2}{3}$
$-\dfrac{4}{3}$
$2$
$c$ が定数で $n \gt 0$ の時
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{c}{x^n} = 0$
であるから、分子と分母を $x^2$ で割ると
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \dfrac{5x^2 - 9x + 2}{10x^2 - 7x - 6} & = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{5 - \dfrac{9}{x} + \dfrac{2}{x^2}}{10 - \dfrac{7}{x} - \dfrac{6}{x^2}}\\[1em] & = & \dfrac{5 - 0 + 0}{10 - 0 - 0} = \dfrac{1}{2}\end{eqnarray*}$
よって$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{5x^2 - 9x + 2}{10x^2 - 7x - 6} = \dfrac{1}{2}$ である。