$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{a_2} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ に対し
$\overrightarrow{e_1} = \dfrac{\overrightarrow{a_1}}{|\overrightarrow{a_1}|}$
$\overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{a_2} - \left( \overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1}$
$\overrightarrow{e_2} = \dfrac{\overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_2}|}$
と定める。
この時 $\overrightarrow{e_2}$ を以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
順に計算していくと
$\overrightarrow{e_1} = \dfrac{\overrightarrow{a_1}}{|\overrightarrow{a_1}|} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{v_2} & = & \overrightarrow{a_2} - \left( \overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} - \dfrac{10}{\sqrt{10}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\overrightarrow{e_2} = \dfrac{\overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_2}|} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
よって $\overrightarrow{e_2} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。
※注意
$\overrightarrow{v_2}$ の式に現れる
$\left( \overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1}$
は $\overrightarrow{a_2}$ の $\overrightarrow{a_1}$ 上への正射影ベクトルであることに注意する。