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$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{a_2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対し

$\overrightarrow{e_1} = \dfrac{\overrightarrow{a_1}}{|\overrightarrow{a_1}|}$

$\overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{a_2} - \left( \overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1}$

$\overrightarrow{e_2} = \dfrac{\overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_2}|}$

と定める。

この時 $\overrightarrow{e_2}$ を以下の選択肢から選びなさい。

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

順に計算していくと

$\overrightarrow{e_1} = \dfrac{\overrightarrow{a_1}}{|\overrightarrow{a_1}|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{v_2} & = & \overrightarrow{a_2} - \left( \overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} - \dfrac{4}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\overrightarrow{e_2} = \dfrac{\overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_2}|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

よって $\overrightarrow{e_2} =  \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ である。

 

※注意

$\overrightarrow{v_2}$ の式に現れる

$\left( \overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{e_1} \right) \overrightarrow{e_1}$

は $\overrightarrow{a_2}$ の $\overrightarrow{a_1}$ 上への正射影ベクトルであることに注意する。