線形変換 $f$ が $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し
$f(\overrightarrow{a}) = \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix}$, $f(\overrightarrow{b}) = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$
となる時, $f(-2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b})$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 23 \\ -19 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 \\ -19 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 23 \\ 3 \end{pmatrix}$
変換 $f$ が線形変換である時, 実数 $k$, $l$ とベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し
$f(k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b}) = kf(\overrightarrow{a}) + lf(\overrightarrow{b})$
が成り立つので
$\begin{eqnarray*} f(-2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) & = & -2 f(\overrightarrow{a}) + 3 f(\overrightarrow{b}) \\[1em] & = & -2\begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 8 + 15 \\ -10 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 \\ -19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって $f(-2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) = \begin{pmatrix} 23 \\ -19 \end{pmatrix}$ である。