線形変換 $f$ が $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し
$f(\overrightarrow{a}) = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $f(\overrightarrow{b}) = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$
となる時, $f(-4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b})$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 4 \\ -12 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -20 \\ -20 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -20 \\ -12 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 \\ -20 \end{pmatrix}$
変換 $f$ が線形変換である時, 実数 $k$, $l$ とベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し
$f(k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b}) = kf(\overrightarrow{a}) + lf(\overrightarrow{b})$
が成り立つので
$\begin{eqnarray*} f(-4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) & = & -4 f(\overrightarrow{a}) + 2 f(\overrightarrow{b}) \\[1em] & = & -4\begin{pmatrix} -3 \\ 4\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 12 - 8 \\ -16 +4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって $f(-4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \end{pmatrix}$ である。