行列 $\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ -12 & 12 & -3 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix}$ で表される線形変換によって原点に移される点を表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
平面 $4x - 4y + z = 0$ 上の点
平面 $x - y + 4z = 0$ 上の点
直線 $4x = -4y = z$ 上の点
直線 $\dfrac{x}{4} = -\dfrac{y}{4} = z$ 上の点
$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ -12 & 12 & -3 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とする。
線形変換の表現行列を行基本変形すると
$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ -12 & 12 & -3 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
よって
$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
である。
$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x - 4y + z \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
であるから
$4x - 4y + z = 0$
よって, この線形変換で原点に移される点は平面 $4x - 4y + z = 0$ 上の点である。
※注意
線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。