$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -4 & -4 & 12 \\ -5 & -5 & 15 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とする。

線形変換の表現行列を行基本変形すると

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -4 & -4 & 12 \\ -5 & -5 & 15 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

である。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y - 3z \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

であるから

$x + y - 3z = 0$

よって, この線形変換で原点に移される点は平面 $x + y - 3z = 0$ 上の点である。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。