与えられた線形変換の式を, 行列と列ベクトルを用いて表すと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -x + 4y \\ 5x - y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

よってこの線形変換の表現行列は $ $$\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}$$ $ である。