$ $$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} \right\} \\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 3} }{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 3} }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(x^2+2x+3) - (x^2 + 4x - 3)}{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 3} }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{-2x + 6}{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{-2 + \dfrac{6}{x}}{ \sqrt{1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2} } + \sqrt{1 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{3}{x^2} }}\\[1em] = & \dfrac{-2}{1 + 1} = -1 \end{aligned}$$ $

よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} \right\} = -1$ である。