$ $$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} - (3x +4) \right\}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} - (3x+4) \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }{\sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(9x^2+36x+5) - (3x+4)^2}{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{12x - 11}{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{12 - \dfrac{11}{x}}{ \sqrt{9 + \dfrac{36}{x} + \dfrac{5}{x^2} } + 3 + \dfrac{4}{x} }\\[1em] = & \dfrac{12}{3 + 3} = 2 \end{aligned}$$ $

よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} - (3x + 4) \right\} = 2$ である。