$ $$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }{\sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(x^2+4x+1) - (x-10)^2}{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{24x - 99}{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{24 - \dfrac{99}{x}}{ \sqrt{1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2} } + 1 - \dfrac{10}{x} }\\[1em] = & \dfrac{24}{1 + 1} = 12 \end{aligned}$$ $

よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\} = 12$ である。