$x \gt 0$ の時 $\dfrac{1}{x} = \sqrt{ \dfrac{1}{x^2} }$ であるから、分子と分母を $x$ で割ると

$ $$\begin{aligned} &\lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{16x^2 + 9x - 9}}{-4x+4}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{16 + \dfrac{9}{x} - \dfrac{9}{x^2}}}{-4 + \dfrac{4}{x} }\\[1em]  = &\dfrac{\sqrt{16 + 0 - 0 }}{-4 - 0}\\[1em] = &\dfrac{4}{-4} = -1 \end{aligned}$$ $

よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{16x^2 + 9x - 9}}{-4x+4} = -1$ である。