$c$ が定数で $n \gt 0$ の時

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{c}{x^n} = 0$

であるから、分子と分母を $x^2$ で割ると

$ $$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \dfrac{2x^2 - 6x - 8}{2x^2 - 3x - 9} & = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{2 - \dfrac{6}{x} - \dfrac{8}{x^2}}{2 - \dfrac{3}{x} - \dfrac{9}{x^2}}\\[1em] & = & \dfrac{2 - 0 - 0}{2 - 0 - 0} = 1\end{eqnarray*}$$ $

よって$\displaystyle  \lim_{x\to \infty} \dfrac{2x^2 - 6x - 8}{2x^2 - 3x - 9} = 1$ である。