$2$ 次の行列 $A$ が対角化可能である時, $A$ の固有値を $\lambda_1,~\lambda_2$ とし, 対角化行列を $P$ とすると

$P^{-1}AP = $$\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$$ $

が成り立つので特に

$A= P $$\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$$ P^{-1}$

であるから

$ $$\begin{eqnarray*} A^n & = & \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right) \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right)\cdots \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right)\\[1em] & = & P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} E \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}E \cdots E \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \\[1em]& = & P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}^n P^{-1}\\[1em] & = & P \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix} P^{-1} \end{eqnarray*}$$ $

が成り立つ。

$|\lambda E -A| = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda -2)(\lambda - 3)$

であるから $A$ の固有値は $\lambda =2,~3$ であり, 固有ベクトルを計算することで対角化行列

$P = $$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ $

を得る。よって

$P^{-1}AP = $$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ $

であるから

$ $$\begin{eqnarray*} A^n & = & P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}^n P^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2^{n+1} & -3\cdot 2^n \\ 3^n & 3^n \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2^{n+1} + 3^{n+1} & -3\cdot 2^n+3^{n+1} \\ 2^{n+1} - 2\cdot 3^n & 3\cdot 2^n - 2\cdot 3^n \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

となる。